Kontinuitas yang Didefinisikan melalui Himpunan Tertutup

Diberikan dua ruang topologi \( X \) dan \( Y \), suatu fungsi \( f: X \to Y \) bersifat kontinu jika dan hanya jika praimaj dari setiap himpunan tertutup \( C \subseteq Y \) merupakan himpunan tertutup di \( X \).

Dalam topologi, kontinuitas biasanya diperkenalkan melalui himpunan terbuka. Namun, ada cara lain yang sepenuhnya ekuivalen dan sering kali sangat berguna dalam pembuktian, yaitu menggunakan himpunan tertutup.

Menurut definisi yang paling umum, suatu fungsi \( f: X \to Y \) disebut kontinu apabila praimaj dari setiap himpunan terbuka di \( Y \) merupakan himpunan terbuka di \( X \).

Teorema berikut menunjukkan bahwa kita dapat mengganti himpunan terbuka dengan himpunan tertutup tanpa mengubah maknanya. Dengan kata lain, fungsi \( f: X \to Y \) bersifat kontinu jika dan hanya jika praimaj dari setiap himpunan tertutup di \( Y \) merupakan himpunan tertutup di \( X \).

Catatan: Hasil ini mencerminkan hubungan erat antara himpunan terbuka dan himpunan tertutup. Dalam topologi, setiap himpunan tertutup merupakan komplemen dari suatu himpunan terbuka, dan setiap himpunan terbuka merupakan komplemen dari suatu himpunan tertutup.

Contoh

Untuk melihat bagaimana teorema ini bekerja, perhatikan fungsi

$$ f(x)=x^2 $$

dengan domain dan kodomain \( \mathbb{R} \) yang dilengkapi topologi standar.

Kita ingin memeriksa apakah praimaj dari suatu himpunan tertutup di \( Y \) juga merupakan himpunan tertutup di \( X \).

Ambil himpunan tertutup

$$ C=[1,+\infty) $$

Praimaj himpunan tersebut melalui fungsi \( f \) adalah

$$ f^{-1}(C) = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \in [1,+\infty)\} = (-\infty,-1] \cup [1,+\infty) $$

Hasilnya berupa gabungan dua interval tertutup, sehingga \( f^{-1}(C) \) merupakan himpunan tertutup dalam \( \mathbb{R} \).

Karena praimaj dari himpunan tertutup \( C \) ternyata juga tertutup, syarat yang diperlukan oleh teorema ini terpenuhi.

Argumen yang sama dapat diterapkan pada himpunan-himpunan tertutup lainnya. Oleh sebab itu, kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi \( f(x)=x^2 \) bersifat kontinu.

Pembuktian

Pembuktian dilakukan dalam dua arah. Pertama, kita menunjukkan bahwa kontinuitas mengakibatkan praimaj setiap himpunan tertutup bersifat tertutup. Kedua, kita membuktikan bahwa sifat tersebut cukup untuk menjamin kontinuitas fungsi.

1] (⇒) Jika \( f \) kontinu, maka \( f^{-1}(C) \) tertutup untuk setiap himpunan tertutup \( C \subseteq Y \)

Misalkan \( f \) bersifat kontinu. Berdasarkan definisi, praimaj dari setiap himpunan terbuka di \( Y \) merupakan himpunan terbuka di \( X \).

Ambil sembarang himpunan tertutup \( C \subseteq Y \). Karena \( C \) tertutup, komplemennya \( Y \setminus C \) merupakan himpunan terbuka di \( Y \).

Karena \( f \) kontinu, maka

$$ f^{-1}(Y \setminus C) $$

merupakan himpunan terbuka di \( X \).

Selain itu, berlaku identitas

$$ f^{-1}(Y \setminus C) = X \setminus f^{-1}(C) $$

Dengan demikian, \( X \setminus f^{-1}(C) \) terbuka di \( X \). Akibatnya, \( f^{-1}(C) \) harus merupakan himpunan tertutup di \( X \).

Jadi, setiap fungsi kontinu selalu memetakan himpunan tertutup ke praimaj yang juga tertutup.

2] (⇐) Jika praimaj dari setiap himpunan tertutup merupakan himpunan tertutup, maka \( f \) kontinu

Sekarang misalkan praimaj dari setiap himpunan tertutup di \( Y \) merupakan himpunan tertutup di \( X \).

Ambil sembarang himpunan terbuka \( U \subseteq Y \). Kita ingin membuktikan bahwa \( f^{-1}(U) \) terbuka di \( X \).

Karena \( U \) terbuka, komplemennya \( Y \setminus U \) merupakan himpunan tertutup di \( Y \).

Berdasarkan asumsi, praimajnya

$$ f^{-1}(Y \setminus U) $$

merupakan himpunan tertutup di \( X \).

Karena

$$ f^{-1}(Y \setminus U) = X \setminus f^{-1}(U) $$

maka \( X \setminus f^{-1}(U) \) tertutup di \( X \).

Komplemen dari himpunan tertutup adalah himpunan terbuka. Oleh karena itu, \( f^{-1}(U) \) merupakan himpunan terbuka di \( X \).

Ini membuktikan bahwa fungsi \( f \) bersifat kontinu.

3] Kesimpulan

Kedua arah implikasi telah dibuktikan. Dengan demikian, suatu fungsi \( f: X \to Y \) bersifat kontinu jika dan hanya jika praimaj dari setiap himpunan tertutup \( C \subseteq Y \) merupakan himpunan tertutup di \( X \).

Karakterisasi ini sepenuhnya ekuivalen dengan definisi kontinuitas yang menggunakan himpunan terbuka. Dalam banyak situasi, pendekatan melalui himpunan tertutup bahkan dapat membuat pembuktian menjadi lebih sederhana dan lebih intuitif.