Batas Suatu Himpunan Selalu Tertutup
Dalam topologi, batas (boundary) suatu himpunan selalu merupakan himpunan tertutup. Alasannya langsung terlihat dari definisinya: $$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$ Batas adalah irisan antara penutupan himpunan \(A\) dan penutupan komplemennya.
Misalkan \(A\) adalah himpunan di dalam ruang topologi \(X\). Batas \(A\), yang dilambangkan dengan \(\partial A\), terdiri dari titik-titik yang “menempel” di tepi \(A\). Secara formal, titik-titik ini adalah elemen yang sekaligus berada dalam penutupan \(A\) dan penutupan \(X - A\): \(\partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A)\).
Karena \(Cl(A)\) dan \(Cl(X - A)\) keduanya merupakan himpunan tertutup, dan irisan himpunan tertutup tetap tertutup, maka \(\partial A\) pasti tertutup.
Contoh Praktis
Agar lebih konkret, perhatikan ruang topologi \(\mathbb{R}\) dengan topologi standar, di mana himpunan terbuka adalah interval terbuka.
Ambil himpunan \(A = (0,1)\), yaitu interval terbuka antara 0 dan 1.
Penutupan himpunan ini adalah \(Cl(A) = [0,1]\), yang mencakup seluruh titik di dalam interval beserta titik limitnya, yaitu 0 dan 1.
Komplemen dari \(A\) di \(\mathbb{R}\) adalah
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Himpunan ini sudah tertutup, sehingga penutupannya tidak berubah:
$$ Cl(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Sekarang kita hitung batas \(A\):
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(\mathbb{R} - A) $$
$$ \partial A = [0,1] \cap \big((-\infty,0] \cup [1,\infty)\big) = \{0,1\} $$
Jadi, batas dari interval terbuka \((0,1)\) adalah \(\{0,1\}\). Dan memang, \(\{0,1\}\) merupakan himpunan tertutup di \(\mathbb{R}\).
Pembuktian
Pernyataan bahwa batas selalu tertutup bersandar pada beberapa sifat dasar topologi.
Di setiap ruang topologi \(X\), penutupan suatu himpunan \(A\), yang ditulis sebagai \(Cl(A)\) atau \(\overline{A}\), selalu merupakan himpunan tertutup.
Menurut definisi, \(Cl(A)\) adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat \(A\).
Komplemen dari \(A\) di \(X\) adalah \(X - A\). Jika \(A\) tertutup maka \(X - A\) terbuka. Sebaliknya, jika \(A\) terbuka maka \(X - A\) tertutup.
Batas himpunan \(A\) didefinisikan sebagai
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
Karena:
- \(Cl(A)\) adalah himpunan tertutup.
- \(Cl(X - A)\) juga himpunan tertutup.
- Irisan dua himpunan tertutup tetap tertutup.
Maka \(\partial A\) selalu merupakan himpunan tertutup di ruang topologi mana pun.
Dan seterusnya.
