Boundary sebagai irisan closure suatu himpunan dan closure komplemennya

Jika \( A \) adalah subhimpunan dari ruang topologi \( X \), boundary \( \partial A \) didefinisikan sebagai himpunan titik-titik yang termasuk sekaligus dalam closure \( A \) dan closure dari komplemen \( A \). $$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

Secara intuitif, boundary dapat dipahami sebagai "wilayah peralihan", yaitu titik-titik yang tidak sepenuhnya berada di dalam \(A\), tetapi juga tidak sepenuhnya di luar \(A\).

Definisi ini menegaskan satu hal penting. Sebuah titik berada pada boundary jika di setiap lingkungan kecil di sekitarnya selalu ada titik dari \(A\) dan titik dari luar \(A\).

Memahami Maknanya

Closure \(\text{Cl}(A)\) memuat semua titik \(A\) beserta titik-titik yang sangat dekat dengannya. Closure komplemen \(\text{Cl}(X \setminus A)\) memuat titik-titik di luar \(A\) beserta titik-titik yang mendekati \(A\) dari sisi luar.

Irisan kedua closure tersebut memilih titik-titik yang "bersentuhan" dengan dua sisi sekaligus. Inilah yang disebut boundary.

Contoh Praktis

Ambil himpunan \( A = (0, 1) \) pada garis bilangan real \(\mathbb{R}\).

Closure dari interval terbuka ini adalah

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

Closure dari komplemennya adalah

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = \text{Cl}((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Boundary diperoleh dari irisan kedua himpunan tersebut

$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

Artinya, hanya titik 0 dan 1 yang benar-benar berada di batas antara interval dan bagian lain dari garis real.

Pembuktian

Menurut definisi, boundary \(\partial A\) adalah himpunan semua titik \(x \in X\) sehingga setiap lingkungan dari \(x\) beririsan dengan \(A\) dan juga dengan \(X \setminus A\).

$$ \partial A = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x), U \cap A \neq \emptyset \text{ dan } U \cap (X \setminus A) \neq \emptyset \} $$

Di mana \(\mathcal{N}(x)\) menyatakan keluarga lingkungan dari \(x\).

Pembuktian dibagi menjadi dua arah inklusi.

1] Menunjukkan bahwa \(\partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A)\)

Jika \(x \in \partial A\), maka setiap lingkungan \(x\) beririsan dengan \(A\) dan dengan komplemennya. Maka \(x \in \text{Cl}(A)\) dan \(x \in \text{Cl}(X \setminus A)\).

$$ \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

2] Menunjukkan bahwa \(\text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \subseteq \partial A\)

Jika \(x\) berada pada kedua closure, setiap lingkungan \(x\) pasti memuat titik dari \(A\) dan titik dari luar \(A\). Ini persis syarat sebuah titik boundary.

$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \subseteq \partial A $$

Kesimpulan

Kedua inklusi tersebut memberikan kesetaraan

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

Pembuktian selesai.