Fungsi kontinu tidak selalu merupakan fungsi terbuka

Suatu fungsi kontinu \( f: X \to Y \) tidak selalu memetakan himpunan terbuka di \( X \) menjadi himpunan terbuka di \( Y \).

Dalam topologi, kontinuitas dan keterbukaan adalah dua konsep yang berbeda. Banyak orang mengira bahwa fungsi kontinu otomatis mempertahankan himpunan terbuka, padahal tidak demikian.

Karena itu, fungsi kontinu tidak selalu merupakan fungsi terbuka.

Apa itu fungsi terbuka? Sebuah fungsi terbuka \( f: X \to Y \) adalah fungsi yang memetakan setiap himpunan terbuka di \( X \) menjadi himpunan terbuka di \( Y \).

Dengan kata lain, sebuah fungsi bisa saja kontinu tanpa harus bersifat terbuka. Kontinuitas hanya menjelaskan perilaku fungsi terhadap praimaj himpunan terbuka, bukan terhadap citra himpunan terbuka.

Contoh sederhana

Perhatikan fungsi berikut:

$$ f(x)=x^2 $$

Fungsi ini kontinu pada seluruh himpunan bilangan real \( \mathbb{R} \).

Sekarang ambil himpunan terbuka:

$$ (-2,2) $$

Himpunan ini memuat semua bilangan real di antara \( -2 \) dan \( 2 \).

Kemudian terapkan fungsi \( f(x)=x^2 \) pada himpunan tersebut.

$$ f(-2)=(-2)^2=4 \\ f(0)=0^2=0 \\ f(2)=2^2=4 $$

Citra dari himpunan \( (-2,2) \) adalah interval:

$$ [0,4) $$

Interval \( [0,4) \) bukan himpunan terbuka.

Alasannya, titik \( 0 \) termasuk dalam interval tersebut, tetapi tidak ada lingkungan terbuka di sekitar \( 0 \) yang seluruhnya berada di dalam \( [0,4) \). Titik \( 0 \) menjadi batas bawah tertutup dari interval itu.

Contoh ini memperlihatkan bahwa meskipun \( f(x)=x^2 \) kontinu, fungsi tersebut tidak memetakan himpunan terbuka menjadi himpunan terbuka.

Jadi, fungsi \( f(x)=x^2 \) adalah fungsi kontinu, tetapi bukan fungsi terbuka.

Perbedaan antara fungsi kontinu dan fungsi terbuka

Perbedaan utama antara kontinuitas dan keterbukaan terletak pada cara keduanya memperlakukan himpunan terbuka.

• Fungsi kontinu
  Suatu fungsi \( f: X \to Y \) disebut kontinu jika praimaj dari setiap himpunan terbuka di \( Y \) selalu merupakan himpunan terbuka di \( X \).

  Kontinuitas berkaitan dengan proses "menarik kembali" himpunan terbuka dari kodomain ke domain. Jika suatu himpunan terbuka diambil pada kodomain \( Y \), maka praimajnya melalui \( f \) harus tetap terbuka di domain \( X \).

• Fungsi terbuka
  Suatu fungsi \( f: X \to Y \) disebut fungsi terbuka jika citra dari setiap himpunan terbuka di \( X \) merupakan himpunan terbuka di \( Y \).

  Fungsi terbuka berkaitan dengan proses "memetakan maju" himpunan terbuka dari domain menuju kodomain. Artinya, setiap himpunan terbuka di domain harus tetap terbuka setelah dipetakan ke kodomain.

Singkatnya, kontinuitas berbicara tentang praimaj himpunan terbuka, sedangkan keterbukaan berbicara tentang citra himpunan terbuka.

Kedua konsep tersebut saling berkaitan, tetapi tidak ekuivalen.

Dan seterusnya.