اتحاد المجموعات المفتوحة في طوبولوجيا القسمة

إذا كانت لدينا عائلة من المجموعات المفتوحة $ U_i $ في طوبولوجيا القسمة Q، فإن الصورة العكسية لاتحاد هذه المجموعات تساوي اتحاد صورها العكسية، وهو بدوره اتحاد لمجموعات مفتوحة في الطوبولوجيا الأصلية X. $$ p^{-1}( \bigcup U_i ) = \bigcup{ p^{-1}(U_i) } $$ وبما أن اتحاد المجموعات المفتوحة في الفضاء الأصلي يبقى مفتوحًا، فإن اتحاد المجموعات المفتوحة يكون مفتوحًا أيضًا في طوبولوجيا القسمة.

مثال يوضح الفكرة

لفهم هذه الخاصية بصورة أفضل، لنأخذ مجموعة الأعداد الحقيقية $ \mathbb{R} $، ولنعرّف عليها طوبولوجيا قسمة بواسطة التطبيق $ p: \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} $. يقوم هذا التطبيق بإرسال كل عدد حقيقي $ x \in \mathbb{R} $ إلى صنف التكافؤ الخاص به بترديد 1.

بعبارة أبسط، يحتفظ كل عدد حقيقي بجزئه الكسري فقط. لذلك فإن الأعداد 0.3 و1.3 و2.3 و3.3 وغيرها جميعًا تمثّل النقطة نفسها بعد تطبيق الدالة $ p $.

مثال توضيحي على طوبولوجيا القسمة

لهذا السبب يمكن تصور فضاء القسمة Q على أنه دائرة تمثل الفترة [0,1)، حيث تُطوى الأعداد الحقيقية بحيث تتطابق النقاط التي تختلف بمقدار عدد صحيح.

لنفترض الآن وجود مجموعتين مفتوحتين في الفضاء $ Q = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $:

$ U_1 = (0.1, 0.4) $
$ U_2 = (0.6, 0.8) $

هاتان مجموعتان مفتوحتان على الدائرة التي يمثّلها فضاء القسمة.

لندرس الآن ما يحدث عند أخذ اتحادهما.

الصورة العكسية للمجموعة $ U_1 $ تحت التطبيق $ p $ هي اتحاد جميع النسخ المناظرة لها على المستقيم الحقيقي: \[ p^{-1}(U_1) = (0.1, 0.4) \cup (1.1, 1.4) \cup (2.1, 2.4) \cup \dots \]
وبالمثل، فإن الصورة العكسية للمجموعة $ U_2 $ هي: \[ p^{-1}(U_2) = (0.6, 0.8) \cup (1.6, 1.8) \cup (2.6, 2.8) \cup \dots \]

أما اتحاد المجموعتين داخل الفترة [0,1) فيُعطى بالعلاقة:

$$ U_1 \cup U_2 = (0.1, 0.4) \cup (0.6, 0.8) $$

ووفقًا لتعريف طوبولوجيا القسمة، فإن الصورة العكسية لهذا الاتحاد تساوي اتحاد الصورتين العكسيتين:

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = p^{-1}(U_1) \cup p^{-1}(U_2) $$

وبالتعويض نحصل على:

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = (0.1, 0.4) \cup (0.6, 0.8) \cup (1.1, 1.4) \cup (1.6, 1.8) \cup \dots $$

لاحظ أن هذا الاتحاد يتكوّن بالكامل من فترات مفتوحة في $ \mathbb{R} $. وبما أن اتحاد الفترات المفتوحة يبقى مجموعة مفتوحة، فإن الصورة العكسية $ p^{-1}(U_1 \cup U_2) $ مفتوحة في $ \mathbb{R} $.

ومن ثمّ، وبحسب تعريف طوبولوجيا القسمة، يكون الاتحاد $ U_1 \cup U_2 $ مفتوحًا في الفضاء $ A = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $.

وهكذا يتضح أن خاصية الانفتاح محفوظة عند أخذ اتحاد أي عدد من المجموعات المفتوحة في طوبولوجيا القسمة، تمامًا كما هو الحال في الطوبولوجيا المعتادة.