تقارب المتتاليات في فضاء طوبولوجي

في الفضاء الطوبولوجي $ X $، تُسمّى النقطة $ x \in X $ نقطةَ تراكم للمتتالية $ (x_n) $ إذا تحقق الشرط الآتي: لكل جوار $ U $ للنقطة $ x $، يوجد عدد صحيح موجب $ N $ بحيث تكون جميع حدود المتتالية $ x_n $ داخل الجوار $ U $ لكل $ n \geq N $.

بمعنى آخر، تتقارب المتتالية $ (x_n) $ إلى النقطة $ x $ إذا أصبحت حدودها، ابتداءً من رتبة معيّنة، قريبة من $ x $ إلى أي درجة نريدها.

ويُكتب ذلك رياضيًا بالشكل التالي:

$$ \lim_{n \to \infty} x_n = x $$

وفي هذه الحالة تُسمّى النقطة $ x $ نقطةَ تراكم للمتتالية.

مثال عملي

لنأخذ المتتالية التالية في الفضاء الطوبولوجي $ X=\mathbb{R} $ المزود بالطوبولوجيا القياسية:

$$ x_n=\frac{1}{n} $$

نريد إثبات أن هذه المتتالية تتقارب إلى الصفر، أي إن الصفر هو نقطة تراكمها.

لإثبات ذلك، نأخذ أي جوار $ U $ للصفر.

في الطوبولوجيا القياسية على $ \mathbb{R} $، يحتوي كل جوار للصفر على مجال مفتوح من الشكل:

$$ (-\epsilon,\epsilon) $$

حيث $ \epsilon >0 $.

إذن، يكفي أن نجد عددًا صحيحًا موجبًا $ N $ بحيث يتحقق:

$$ \frac{1}{n}\in(-\epsilon,\epsilon) \quad \text{لكل } n\geq N $$

إذا كان $\epsilon >0$، فيمكن اختيار:

$$ N=\left\lceil\frac{1}{\epsilon}\right\rceil $$

وعندئذ، لكل $ n\geq N $، نحصل على:

$$ n\geq\frac{1}{\epsilon}\implies \frac{1}{n}\leq\epsilon $$

ومن ثم:

$$ \left|\frac{1}{n}\right|<\epsilon $$

وهذا يعني أن حدود المتتالية تدخل داخل أي جوار للصفر وتبقى فيه ابتداءً من رتبة معيّنة.

وبالتالي:

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 $$

أي إن الصفر هو نقطة تراكم المتتالية $ \left(\frac{1}{n}\right) $.

وبصيغة أبسط، فإن حدود المتتالية تصبح أصغر فأصغر كلما ازدادت قيمة $ n $، ولذلك تقترب تدريجيًا من الصفر.

يوضح الجدول التالي القيم العشر الأولى للمتتالية:

$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
n & \frac{1}{n} \\
\hline
1 & 1 \\
2 & 0.5 \\
3 & 0.333 \\
4 & 0.25 \\
5 & 0.2 \\
6 & 0.167 \\
7 & 0.143 \\
8 & 0.125 \\
9 & 0.111 \\
10 & 0.1 \\
\hline
\end{array}
$$

فعلى سبيل المثال، إذا أخذنا $ N=5 $ بحيث:

$$ x_5=\frac{1}{5}=0.2 $$

فإن جميع الحدود اللاحقة، أي لكل $ n>5 $، تنتمي إلى الجوار:

$$ U=(0,0.2) $$

مثال على نقطة تراكم

وينطبق الأمر نفسه عند اختيار أي قيمة أخرى لـ $ N $.

فعلى سبيل المثال، إذا اعتبرنا $ N=10 $ حيث:

$$ x_{10}=0.1 $$

فإن جميع حدود المتتالية لكل $ n>10 $ تبقى داخل الجوار:

$$ U=(0,0.1) $$

تقارب المتتالية

وهكذا نلاحظ أن حدود المتتالية تقترب أكثر فأكثر من الصفر كلما تقدّمنا في المتتالية.

ومن ثم فإن الصفر هو نقطة تراكم هذه المتتالية.