الطوبولوجيا المترية

الطوبولوجيا المترية هي الطوبولوجيا التي يُولِّدها المتري $ d $ على الفضاء $ X $، وذلك من خلال الأساس المؤلف من الكرات المفتوحة. وتُعرف أيضًا باسم الطوبولوجيا المستحثة بالمتري $ d $.

في الفضاء المتري $ (X,d) $، تمثل $ d $ دالة تقيس المسافة بين نقاط الفضاء $ X $. ومن خلال هذه المسافة يمكن بناء طوبولوجيا كاملة اعتمادًا على مفهوم الكرات المفتوحة.

وتُعرَّف الكرة المفتوحة ذات المركز $ x \in X $ ونصف القطر الموجب $ \varepsilon $ بأنها مجموعة جميع النقاط $ y $ التي تبعد عن $ x $ مسافة أقل من $ \varepsilon $:

$$ B_d(x,\varepsilon)=\{y\in X \mid d(x,y)<\varepsilon\}. $$

وتُعد المجموعة مفتوحة في الطوبولوجيا المترية إذا أمكن كتابتها على صورة اتحاد لكرات مفتوحة.

وبصورة مكافئة، تكون المجموعة $ U \subset X $ مفتوحة إذا وفقط إذا كان لكل نقطة $ y \in U $ عدد موجب $ \delta $ بحيث تكون الكرة المفتوحة $ B_d(y,\delta) $ محتواة بالكامل داخل $ U $.

مثال عملي
المجموعات المفتوحة في الطوبولوجيا المترية
أنواع المتريات
ملاحظات إضافية

مثال عملي

لنأخذ الفضاء الإقليدي أحادي البعد $\mathbb{R}$، أي مستقيم الأعداد الحقيقية، مزودًا بالمسافة الإقليدية.

يتكون الفضاء $\mathbb{R}$ من جميع الأعداد الحقيقية، وتُعرَّف المسافة بين العددين $x$ و$y$ بالعلاقة:

$$ d(x,y)=|x-y|. $$

وتمثل $|x-y|$ القيمة المطلقة للفرق بين العددين، وهي تحقق جميع بديهيات المتري.

وباستخدام هذا المتري يمكن إنشاء الكرات المفتوحة بسهولة.

على سبيل المثال، إذا أخذنا النقطة $x=3$ ونصف القطر $\varepsilon=1$، فإن الكرة المفتوحة تكون:

$$ B_d(3,1)=\{y\in\mathbb{R}\mid d(3,y)<1\} =\{y\in\mathbb{R}\mid |3-y|<1\}. $$

بحل المتباينة نحصل على:

$$ 2

وبالتالي:

$$ B_d(3,1)=(2,4). $$

أي إن الكرة المفتوحة ذات المركز $3$ ونصف القطر $1$ هي نفسها الفترة المفتوحة $(2,4)$ على مستقيم الأعداد الحقيقية.

مثال

وبالمثل، يمكن اعتبار الفترات $ (2,4) $، و$ (5,7) $، أو أي فترة مفتوحة $(a,b)$ في $\mathbb{R}$، كرات مفتوحة أو اتحادات لكرات مفتوحة بالنسبة إلى المتري $d(x,y)=|x-y|$.

مجموعات مفتوحة

وتشكل جميع هذه الفترات أساس الطوبولوجيا المترية على $\mathbb{R}$.

ملاحظة. تكون المجموعة مفتوحة في $\mathbb{R}$ إذا أمكن، عند كل نقطة منها، إيجاد فترة مفتوحة صغيرة تقع بالكامل داخل المجموعة. فعلى سبيل المثال، تُعد الفترة $(0,5)$ مجموعة مفتوحة لأن كل نقطة فيها تمتلك جوارًا مفتوحًا لا يخرج عن حدودها.

وهكذا فإن المتري $d(x,y)=|x-y|$ يولد الطوبولوجيا الاعتيادية على $\mathbb{R}$، وهي طوبولوجيا الفترات المفتوحة.

المجموعات المفتوحة في الطوبولوجيا المترية

تكون المجموعة الجزئية $ U \subset X $ مفتوحة إذا كان لكل نقطة $ y \in U $ كرة مفتوحة مركزها $ y $ ومحتواة بالكامل داخل $ U $.

وبعبارة هندسية، يمكن رسم دائرة صغيرة حول أي نقطة من نقاط المجموعة، أو كرة في الأبعاد الأعلى، بحيث تبقى كلها داخل المجموعة.

وهذه هي الفكرة الأساسية التي يقوم عليها مفهوم المجموعة المفتوحة في الطوبولوجيا المترية.

يوضح الشكل التالي مثالًا لمجموعة مفتوحة في الفضاء المتري $ \mathbb{R}^2 $.

مثال على مجموعة مفتوحة في الطوبولوجيا المترية

أما المجموعات المغلقة فتحتوي على جميع نقاطها الحدية. ومن أمثلتها الكرات المغلقة التي تشمل الحدود وجميع النقاط الواقعة داخلها.

مثال على مجموعة مغلقة

وباختصار، فإن انفتاح المجموعة يعني أن كل نقطة فيها تمتلك جوارًا مفتوحًا يظل بالكامل داخل المجموعة.

أنواع المتريات

لا تقتصر الطوبولوجيات المترية على المتري الإقليدي، إذ يمكن تعريفها باستخدام أنواع مختلفة من المتريات.

ومن أشهر المتريات على المستوى $ \mathbb{R}^2 $:

المتري الإقليدي (القياسي)
تكون الكرات المفتوحة فيه دائرية الشكل، وهو المتري الذي يولد الطوبولوجيا القياسية على $ \mathbb{R}^2 $.
$$ d(p,q)=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2}. $$
متري سيارة الأجرة (مسافة مانهاتن)
تكون الكرات المفتوحة فيه على شكل معين، ومع ذلك فإنه يولد الطوبولوجيا نفسها التي يولدها المتري الإقليدي على $ \mathbb{R}^2 $.
$$ d_T(p,q)=|p_1-q_1|+|p_2-q_2|. $$
متري النهاية العظمى
تكون الكرات المفتوحة فيه مربعة الشكل، ويبلغ طول ضلع كل مربع $2\varepsilon$. كما يولد طوبولوجيا على $ \mathbb{R}^2 $.
$$ d_M(p,q)=\max\{|p_1-q_1|,\ |p_2-q_2|\}. $$

ورغم اختلاف أشكال الكرات المفتوحة في هذه المتريات، فإنها جميعًا تستحث طوبولوجيات متكافئة على $ \mathbb{R}^2 $.

ملاحظات إضافية

فيما يلي بعض النتائج الأساسية المتعلقة بالطوبولوجيات المستحثة بالمتريات.

مبرهنة مقارنة الطوبولوجيات المستحثة بالمتريات
لتكن $d$ و$d'$ متريين معرفين على المجموعة $X$، ولتكن $\mathcal{T}$ و$\mathcal{T}'$ الطوبولوجيتين المستحثتين بهما على الترتيب. تكون $\mathcal{T}'$ أدق من $\mathcal{T}$ إذا وفقط إذا تحقق أنه لكل $x\in X$ ولكل $\varepsilon>0$، يوجد $\delta>0$ بحيث:

$$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon). $$

حيث تمثل $B_d(x,\varepsilon)$ و$B_{d'}(x,\delta)$ الكرتين المفتوحتين ذواتي المركز $x$ بالنسبة إلى المتريين.

وبعبارة أخرى، تكون $\mathcal{T}'$ أدق من $\mathcal{T}$ إذا كانت كل مجموعة مفتوحة في الطوبولوجيا المستحثة بالمتري $d$ تحتوي على مجموعة مفتوحة من الطوبولوجيا المستحثة بالمتري $d'$.
مبرهنة المتري المحدود
في الفضاء المتري $ (X,d) $، يمكن تعريف متري محدود جديد بالعلاقة:

$$ d'(x,y)=\min(d(x,y),\varepsilon), $$

حيث $\varepsilon>0$. ويولد هذا المتري الطوبولوجيا نفسها التي يولدها المتري $d$، ولذلك فإن المجموعات المفتوحة في كلا المتريين متطابقة.

وهكذا.