الفضاء المتري

ما الفضاء المتري؟

الفضاء المتري هو زوج \( (X, d) \)، حيث تمثل \( X \) مجموعة، وتمثل \( d \) دالة تُسمى متريًا أو دالة مسافة. تُسنِد هذه الدالة إلى كل زوج من النقطتين \( x, y \in X \) عددًا حقيقيًا غير سالب يُرمز إليه بـ \( d(x, y) \)، ويعبّر عن المسافة بينهما. ويُكتب الفضاء المتري عادةً على الصورة \( (X, d) \). $$ (X,d) $$

ولكي تُعد الدالة \( d \) متريًا، فلا بد أن تحقق الخواص الآتية:

1. عدم السلبية: \( d(x, y) \geq 0 \) لكل \( x, y \in X \)، كما أن \( d(x, y) = 0 \) إذا وفقط إذا كان \( x = y \). وهذا يعني أن المسافة من النقطة إلى نفسها تساوي صفرًا، بينما تكون المسافة بين أي نقطتين متميزتين موجبة دائمًا.
2. التناظر: \( d(x, y) = d(y, x) \) لكل \( x, y \in X \). أي إن المسافة من \( x \) إلى \( y \) هي نفسها المسافة من \( y \) إلى \( x \).
3. متباينة المثلث: \( d(x, y) + d(y, z) \geq d(x, z) \) لكل \( x, y, z \in X \). أي إن المسافة المباشرة بين نقطتين لا يمكن أن تتجاوز مجموع المسافتين عند المرور بنقطة ثالثة.

وباختصار، يوفّر الفضاء المتري إطارًا رياضيًا يسمح بقياس المسافات بين عناصر مجموعة ما، وهو ما يتيح دراسة مفاهيم أساسية في الرياضيات، مثل الاستمرارية والتقارب والتراص، بصورة دقيقة ومنهجية.

وبعبارة أبسط، يمكن النظر إلى الفضاء المتري على أنه مجموعة \( X \) مزودة بدالة مسافة \( d \).

وقد تكون هذه المجموعة بسيطة للغاية، مثل مجموعة من النقاط، أو أكثر تعقيدًا، مثل فضاء متجهي كامل.

مثال تطبيقي

يُعد الفضاء الإقليدي في \( \mathbb{R}^n \) من أشهر أمثلة الفضاءات المترية. فهو يمثل مجموعة النقاط في المستوى عندما \( n = 2 \)، أو في الفضاء الثلاثي الأبعاد عندما \( n = 3 \).

لنأخذ على سبيل المثال \( \mathbb{R}^2 \)، أي المستوى الديكارتي.

يُعرَّف المتري الإقليدي \( d \) بين النقطتين \( p = (p_1, p_2) \) و\( q = (q_1, q_2) \) كما يأتي:

$$ d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2} $$

تمثل هذه الصيغة المسافة الإقليدية، أي أقصر مسافة مستقيمة تفصل بين النقطتين \( p \) و\( q \) في المستوى.

ويحقق هذا المتري جميع خواص الفضاء المتري:

1. عدم السلبية: الجذر التربيعي لا يكون سالبًا أبدًا، كما أن \( d(p, q) = 0 \) إذا وفقط إذا تطابقت النقطتان، أي عندما \( p = q \).
2. التناظر: لدينا \( d(p, q) = d(q, p) \)، لأن \( (p_1 - q_1)^2 = (q_1 - p_1)^2 \). ولذلك لا تتغير قيمة المسافة بتبديل ترتيب النقطتين.
3. متباينة المثلث: المسافة المباشرة بين نقطتين لا تزيد على مجموع المسافتين عبر نقطة ثالثة. ويمكن إثبات ذلك باستخدام مبرهنة فيثاغورس ونتائج أخرى في الهندسة الإقليدية.

وعليه، فإن الفضاء \( (\mathbb{R}^2, d) \)، حيث \( d \) هو المتري الإقليدي، يُعد مثالًا نموذجيًا على الفضاء المتري.

دالة المسافة (المتري)

ما دالة المسافة؟

دالة المسافة، أو المتري، هي دالة \( d(x_1, x_2) \) تحقق الشروط الآتية:

\( d(x_1, x_2) \geq 0 \)
\( d(x_1, x_2) = 0 \) إذا وفقط إذا كان \( x_1 = x_2 \)
\( d(x_1, x_2) = d(x_2, x_1) \)
\( d(x_1, x_2) \leq d(x_1, x_3) + d(x_3, x_2) \)

لكل \( x_1, x_2, x_3 \in X \).

أنواع دوال المسافة

لا توجد دالة مسافة واحدة فقط، بل توجد عدة مقاييس تختلف باختلاف طبيعة الفضاء والتطبيق الرياضي.

المسافة الإقليدية

$$ d_2(x, y) := \sqrt{ \sum{(x_i - y_i)^2 } } $$

وهي أكثر دوال المسافة استخدامًا، لأنها تشكل الأساس الذي تقوم عليه الهندسة الإقليدية التقليدية.

مسافة مانهاتن

تُستخدم هذه المسافة على نطاق واسع في هندسة سيارات الأجرة والتحسين الرياضي. وسُمّيت «مسافة مانهاتن» لأن الحركة فيها تشبه السير داخل شبكة شوارع مدينة منتظمة، حيث لا يمكن الانتقال قطريًا بين المباني.

$$ d_1(x, y) := \sum{ |x_i - y_i| } $$

المسافة المنفصلة

في هذا النوع تكون المسافة بين أي نقطتين مختلفتين مساوية لـ \(1\)، بينما تكون مساوية لـ \(0\) إذا كانت النقطتان متطابقتين.

$$ d(x, y) := \begin{cases} 0 \:\:\: \text{إذا كان } x = y \\ 1 \:\:\: \text{إذا كان } x \ne y \end{cases} $$

المسافة المستحثة بمعيار

يُولِّد المعيار دائمًا دالة مسافة.

وتُعرف دالة المسافة الناتجة عنه باسم المسافة المستحثة.

$$ ||v|| := d(v, 0_V) $$

أي إن معيار المتجه يساوي المسافة التي تفصله عن متجه الصفر.

ولهذا السبب، فإن كل فضاء متجهي مزود بمعيار هو أيضًا فضاء متري.

ملاحظة. لا يصح العكس دائمًا؛ إذ ليست كل دالة مسافة مستحثة من معيار.

خصائص المسافة المستحثة

تكون دالة المسافة مستحثة من معيار إذا حققت الشرطين الآتيين:

\( d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) \)
\( d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) \)

حيث إن \( v_1 \)، و\( v_2 \)، و\( v_3 \) متجهات في الفضاء المتجهي \( V \)، و\( k \) عدد قياسي ينتمي إلى الحقل \( K \).

مثال

يسهل إثبات أن المعيار الإقليدي يستحث المسافة الإقليدية، لأنه يحقق الشرطين السابقين.

لنأخذ ثلاثة متجهات \( v_1 \)، و\( v_2 \)، و\( v_3 \) في الفضاء الإقليدي:

$$ v_1 = (6,8) \\ v_2 = (3,4) \\ v_3 = (3,0) $$

وتكون معايير هذه المتجهات كما يلي:

$$ ||v_1||_2 = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 $$ $$ ||v_2||_2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 $$ $$ ||v_3||_2 = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 $$

وبناءً على ذلك، تكون المسافات المستحثة المقابلة:

$$ ||v_1||_2 = d(v_1, 0_V) = 10 $$ $$ ||v_2||_2 = d(v_2, 0_V) = 5 $$ $$ ||v_3||_2 = d(v_3, 0_V) = 3 $$

وفقًا للتعريف، تتحقق العلاقة $$ ||v|| = d(v, 0_V) $$ إذا تحقق الشرطان الآتيان:
1] \( d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) \)
2] \( d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) \)

فلنتحقق من كل شرط على حدة.

الشرط الأول

$$ d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) $$ $$ d(10 + 3, 5 + 3) = d(10, 5) $$ $$ d(13, 8) = d(10, 5) $$

المسافة في الطرف الأيسر تساوي:

$$ d(13, 8) = \sqrt{(13 - 8)^2} = \sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5 $$

أما المسافة في الطرف الأيمن فتساوي:

$$ d(10, 5) = \sqrt{(10 - 5)^2} = \sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5 $$

ومن ثم نحصل على:

$$ d(13, 8) = d(10, 5) = 5 $$

إذن يتحقق الشرط الأول.

الشرط الثاني

$$ d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) $$ $$ d(k \cdot 10, k \cdot 5) = |k| \cdot d(10, 5) $$

لنفترض أن \( k = 2 \).

$$ d(2 \cdot 10, 2 \cdot 5) = |2| \cdot d(10, 5) $$ $$ d(20, 10) = |2| \cdot d(10, 5) $$

فنجد أن:

$$ d(20, 10) = \sqrt{(20 - 10)^2} = \sqrt{10^2} = 10 $$

وكذلك:

$$ |2| \cdot d(10, 5) = 2 \cdot \sqrt{(10 - 5)^2} = 2 \cdot 5 = 10 $$

وبالتالي:

$$ d(k \cdot 10, k \cdot 5) = |k| \cdot d(10, 5) = 10 \:\:\: \text{عندما } k = 2 $$

إذن يتحقق الشرط الثاني أيضًا.

وبذلك نكون قد أثبتنا أن المسافة في الفضاء الإقليدي مستحثة من المعيار الإقليدي.

ملاحظات إضافية

فيما يلي بعض النتائج والمفاهيم المهمة المتعلقة بالفضاءات المترية:

• المجموعة المحدودة في الفضاء المتري
  لتكن \((X, d)\) فضاءً متريًا، حيث إن \(d\) هو المتري المعرف على \(X\). وتسمى المجموعة الجزئية \(A \subseteq X\) محدودة إذا وجد عدد حقيقي موجب \(\mu > 0\) ونقطة ثابتة \(x_0 \in X\) بحيث: $$ d(x, x_0) \leq \mu \quad \text{لكل } x \in A $$ وبعبارة أخرى، تقع جميع نقاط المجموعة \(A\) داخل كرة، مفتوحة كانت أو مغلقة، نصف قطرها \(\mu\) ومركزها \(x_0\). لذلك تُعد المجموعة محدودة إذا أمكن احتواؤها بالكامل داخل كرة ذات نصف قطر منتهٍ.

  ملاحظة. في الطوبولوجيا المستحثة بالمتري \(d\)، لا يرتبط مفهوم المحدودية بكون المجموعة مفتوحة أو مغلقة، وإنما يعتمد فقط على المسافات بين نقاطها.

• المتري المحدود
  إذا كانت المجموعة \(X\) نفسها محدودة، فإن المتري \(d\) يسمى متريًا محدودًا.
• مبرهنة الأساس للطوبولوجيا المستحثة بمتري
  في الفضاء المتري \((X, d)\)، تشكل مجموعة الكرات المفتوحة \( \mathcal{B} \) أساسًا للطوبولوجيا المعرفة على \(X\): $$ \mathcal{B} = \{B_d(x, \varepsilon) \mid x \in X, \varepsilon > 0\} $$
• مبرهنة الاستمرارية في الفضاءات المترية
  لتكن \(f : X \to Y\) دالة بين الفضاءين المتريين \((X, d_X)\) و\((Y, d_Y)\). تكون \(f\) مستمرة إذا تحقق أنه لكل نقطة \(x \in X\) ولكل \(\varepsilon > 0\)، يوجد \(\delta > 0\) بحيث إذا كان $$ d_X(x, x') < \delta $$ فإن $$ d_Y(f(x), f(x')) < \varepsilon $$ أي إن تقارب النقطتين في المجال يؤدي إلى تقارب صورتيهما في المدى.
• كل فضاء متري هو فضاء هاوسدورف
  كل فضاء متري هو فضاء هاوسدورف. وعلى العكس، إذا لم يكن الفضاء الطوبولوجي فضاء هاوسدورف، فلا يمكن أن يكون قابلاً للمترية.

  ملاحظة. يسمى الفضاء الطوبولوجي فضاء هاوسدورف إذا أمكن فصل أي نقطتين متميزتين بواسطة جوارين مفتوحين متباينين.

وهذه مجرد بعض النتائج الأساسية، إذ تزخر نظرية الفضاءات المترية بالعديد من المفاهيم والخواص الأخرى التي تشكل أساسًا مهمًا لدراسة التحليل الرياضي والطوبولوجيا.