التضمين في علم الطوبولوجيا
في علم الطوبولوجيا، يُعرَّف التضمين بأنه تطبيق متصل وحقني \( f: X \rightarrow Y \) بين فضاءين طوبولوجيين \( X \) و\( Y \)، بحيث يكون \( f \) تشاكلًا طوبولوجيًا بين \( X \) وصورته \( f(X) \)، عندما تُزوَّد هذه الصورة بالطوبولوجيا النسبية الموروثة من \( Y \).
وبعبارة أخرى، فإن التضمين يسمح بتمثيل الفضاء \( X \) داخل الفضاء \( Y \) مع المحافظة على جميع خصائصه الطوبولوجية.
ولكي يكون التطبيق تضمينًا، لا بد من تحقق الشروط الآتية:
- أن يكون التطبيق \( f \) متصلًا.
- أن يكون حقنيًا، أي لا يرسل عنصرين مختلفين من \( X \) إلى العنصر نفسه في \( Y \).
- أن يكون معكوسه، عند تقييده على الصورة \( f(X) \)، متصلًا بالنسبة إلى الطوبولوجيا النسبية على \( f(X) \).
وعند تحقق هذه الشروط، تكون الصورة \( f(X) \) نسخةً مطابقة طوبولوجيًا للفضاء \( X \)، لكنها تقع داخل الفضاء الأكبر \( Y \).
مثال عملي
لننظر إلى الفضاءين الطوبولوجيين الآتيين:
- الفضاء \( X \)
المجموعة \( X = \{a, b, c\} \) المزودة بالطوبولوجيا \( \mathcal{T}_X = \{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}, X\} \)، وهي التي تحدد المجموعات المفتوحة في \( X \). - الفضاء \( Y \)
المجموعة \( Y = \{1,2,3,4\} \) المزودة بالطوبولوجيا \( \mathcal{T}_Y = \{\emptyset,\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},Y\} \)، وهي التي تحدد المجموعات المفتوحة في \( Y \).
نعرّف التطبيق:
$$ f(a)=1 \\ f(b)=2 \\ f(c)=3 $$
والآن نتحقق مما إذا كان هذا التطبيق يمثل تضمينًا.
1. التحقق من الاتصال
يكون التطبيق \( f:X \rightarrow Y \) متصلًا (انظر تعريف الاتصال باستخدام المجموعات المفتوحة) إذا كانت الصورة العكسية لكل مجموعة مفتوحة في \( Y \) مجموعةً مفتوحة في \( X \).
وفي هذا المثال نجد أن:
- \( f^{-1}(\emptyset)=\emptyset \in \mathcal{T}_X \).
- \( f^{-1}(\{1\})=\{a\}\in\mathcal{T}_X \).
- \( f^{-1}(\{1,2\})=\{a,b\}\in\mathcal{T}_X \).
- \( f^{-1}(\{1,2,3\})=X\in\mathcal{T}_X \).
- \( f^{-1}(Y)=X\in\mathcal{T}_X \).
وبما أن الصورة العكسية لكل مجموعة مفتوحة في \( Y \) هي مجموعة مفتوحة في \( X \)، فإن التطبيق \( f \) متصل.
2. التحقق من الحقنية
التطبيق حقني لأن كل عنصر في \( X \) يُرسَل إلى عنصر مختلف في \( Y \).
$$ f(a)=1 \\ f(b)=2 \\ f(c)=3 $$
وبالتالي لا يوجد عنصران مختلفان في \( X \) لهما الصورة نفسها في \( Y \).
3. التحقق من اتصال التطبيق العكسي
صورة التطبيق هي:
$$ f(X)=\{1,2,3\}\subset Y $$
ولذلك تكون الطوبولوجيا النسبية على \( f(X) \) هي:
$$ \mathcal{T}_{f(X)} = \{ \emptyset, \{1\}, \{1,2\}, \{1,2,3\} \} $$
ملاحظة. تُعرَّف الطوبولوجيا النسبية بأنها جميع المجموعات الناتجة عن تقاطع المجموعات المفتوحة في الفضاء الأصلي مع الفضاء الجزئي.
في هذا المثال:
- الفضاء الأصلي هو \( Y=\{1,2,3,4\} \).
- الفضاء الجزئي هو \( f(X)=\{1,2,3\} \).
وعند حساب جميع التقاطعات نحصل على:
- \( \emptyset\cap\{1,2,3\}=\emptyset \)
- \( \{1\}\cap\{1,2,3\}=\{1\} \)
- \( \{1,2\}\cap\{1,2,3\}=\{1,2\} \)
- \( \{1,2,3\}\cap\{1,2,3\}=\{1,2,3\} \)
- \( \{1,2,3,4\}\cap\{1,2,3\}=\{1,2,3\} \)، وهي المجموعة نفسها السابقة.
ومن ثم تكون الطوبولوجيا النسبية:
$$ \mathcal{T}_{f(X)} = \{ \emptyset, \{1\}, \{1,2\}, \{1,2,3\} \} $$
للتحقق من اتصال التطبيق العكسي \( f^{-1}:f(X)\rightarrow X \)، يكفي التأكد من أن الصورة العكسية لكل مجموعة مفتوحة في \( X \) مفتوحة أيضًا في \( f(X) \).
- \( \emptyset \longmapsto \emptyset \).
- \( \{a\} \longmapsto \{1\} \).
- \( \{a,b\} \longmapsto \{1,2\} \).
- \( X \longmapsto \{1,2,3\} \).
وجميع هذه المجموعات مفتوحة في الطوبولوجيا النسبية، ومن ثم فإن التطبيق العكسي متصل.
وبذلك نستنتج أن التطبيق \( f \) يمثل تضمينًا للفضاء \( X \) في الفضاء \( Y \)، لأنه يحقق الشروط الثلاثة السابقة.
ورغم أن الصورة \( f(X)=\{1,2,3\} \) لا تساوي الفضاء \( Y \) بأكمله، فإنها تحتفظ بجميع الخصائص الطوبولوجية للفضاء \( X \).
الفرق بين التضمين والتشاكل الطوبولوجي
يختلف التضمين عن التشاكل الطوبولوجي في طبيعة العلاقة بين الفضاءين.
- التشاكل الطوبولوجي
هو تطبيق تقابلي بين \( X \) و\( Y \)، يحافظ على البنية الطوبولوجية لكلا الفضاءين بالكامل، بحيث يُعد الفضاءان متكافئين طوبولوجيًا. - التضمين
هو تطبيق يُدخل \( X \) داخل \( Y \)، مع الحفاظ على البنية الطوبولوجية لـ \( X \)، ولكن داخل الصورة \( f(X) \) فقط، وهي فضاء جزئي من \( Y \).
وبعبارة أخرى، يقتضي التشاكل الطوبولوجي أن يكون الفضاءان متكافئين بالكامل، في حين يكتفي التضمين بتمثيل الفضاء \( X \) تمثيلًا مطابقًا طوبولوجيًا داخل فضاء أكبر.
وهكذا دواليك...
