مبرهنة داخل حاصل الضرب الديكارتي
إذا كانت \(A\) و\(B\) مجموعتين في فضاءين طوبولوجيين \(X\) و\(Y\)، فإن داخل حاصل الضرب الديكارتي لهما يساوي حاصل الضرب الديكارتي لداخلي المجموعتين. أي: $$ \operatorname{Int}(A \times B) = \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) $$
تُعد هذه المبرهنة من النتائج الأساسية في طوبولوجيا الضرب، لأنها توضح كيف تتفاعل عملية أخذ الداخل مع عملية تكوين حاصل الضرب الديكارتي. وهي تبيّن أن حساب داخل حاصل الضرب الديكارتي لا يتطلب دراسة المجموعة بأكملها، بل يكفي حساب داخل كل مجموعة على حدة ثم تكوين حاصل الضرب بينهما.
مثال تطبيقي
لنأخذ الفضاءين الطوبولوجيين \(X = \mathbb{R}\) و\(Y = \mathbb{R}\)، والمجموعتين:
$$ A = (0,2) \qquad B = (1,3) $$
تمثل المجموعتان \(A\) و\(B\) فترتين مفتوحتين على مستقيم الأعداد الحقيقية.
بما أن كلتا المجموعتين مفتوحة، فإن داخل كل منهما يساوي المجموعة نفسها:
$$ \operatorname{Int}(A) = (0,2) $$
$$ \operatorname{Int}(B) = (1,3) $$
نحسب الآن حاصل الضرب الديكارتي للداخلين:
$$ \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) = (0,2) \times (1,3) $$
ويمثل هذا الحاصل مجموعة جميع الأزواج المرتبة \((x,y)\) التي تحقق:
$$ x \in (0,2), \qquad y \in (1,3) $$
أو بصورة أكثر دقة:
$$ \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) = \{(x,y)\mid x \in (0,2)\ \text{and}\ y \in (1,3)\} $$
ومن الناحية الهندسية، تمثل هذه المجموعة مستطيلاً مفتوحاً في المستوى \(\mathbb{R}^2\).
لنحسب الآن داخل حاصل الضرب الديكارتي:
$$ A \times B = (0,2) \times (1,3) $$
بما أن هذه المجموعة تمثل أصلاً مستطيلاً مفتوحاً، فإن داخلها يساوي المجموعة نفسها:
$$ \operatorname{Int}(A \times B) = (0,2) \times (1,3) $$
وبالتالي نحصل على:
$$ \operatorname{Int}(A \times B) = \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) $$
وهذا يوضح بشكل مباشر صحة المبرهنة في هذه الحالة.
البرهان
لإثبات المبرهنة سنبرهن احتواءين متعاكسين. وعندما يثبت أن كل طرف محتوى في الطرف الآخر، نحصل تلقائياً على المساواة المطلوبة.
1] داخل حاصل الضرب الديكارتي يحتوي حاصل الضرب الديكارتي للداخلين
نريد إثبات العلاقة التالية:
$$ \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) \subseteq \operatorname{Int}(A \times B) $$
لنأخذ نقطة \((x,y)\) بحيث:
$$ x \in \operatorname{Int}(A), \qquad y \in \operatorname{Int}(B) $$
بما أن \(x\) نقطة داخلية في \(A\)، فهناك مجموعة مفتوحة \(U\) في \(X\) تحقق:
$$ x \in U \subseteq A $$
وبالمثل، توجد مجموعة مفتوحة \(V\) في \(Y\) تحقق:
$$ y \in V \subseteq B $$
ومن خصائص طوبولوجيا الضرب أن:
$$ U \times V $$
مجموعة مفتوحة في الفضاء \(X \times Y\)، كما أنها تحتوي النقطة \((x,y)\).
ولأن:
$$ U \times V \subseteq A \times B $$
فإن النقطة \((x,y)\) تمتلك جواراً مفتوحاً يقع بالكامل داخل \(A \times B\)، ومن ثم:
$$ (x,y) \in \operatorname{Int}(A \times B) $$
وبذلك يثبت الاحتواء الأول:
$$ \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) \subseteq \operatorname{Int}(A \times B) $$
2] حاصل الضرب الديكارتي للداخلين يحتوي داخل حاصل الضرب الديكارتي
ننتقل الآن إلى إثبات الاحتواء العكسي:
$$ \operatorname{Int}(A \times B) \subseteq \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) $$
افترض أن:
$$ (x,y) \in \operatorname{Int}(A \times B) $$
هذا يعني وجود مجموعة مفتوحة \(W\) في \(X \times Y\) تحقق:
$$ (x,y) \in W \subseteq A \times B $$
وبما أن المجموعات الأساسية في طوبولوجيا الضرب تكون من الشكل \(U \times V\)، يمكن اختيار مجموعتين مفتوحتين \(U\) و\(V\) بحيث:
$$ (x,y) \in U \times V \subseteq W $$
ومن ثم:
$$ U \times V \subseteq A \times B $$
ويترتب على ذلك أن:
$$ U \subseteq A \qquad \text{و} \qquad V \subseteq B $$
وبالتالي:
$$ x \in U \subseteq A $$
$$ y \in V \subseteq B $$
وبما أن \(U\) و\(V\) مفتوحتان، فإن \(x\) نقطة داخلية في \(A\)، و\(y\) نقطة داخلية في \(B\). أي:
$$ x \in \operatorname{Int}(A) $$
$$ y \in \operatorname{Int}(B) $$
ومن ثم:
$$ (x,y) \in \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) $$
وهذا يثبت الاحتواء الثاني:
$$ \operatorname{Int}(A \times B) \subseteq \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) $$
3] النتيجة النهائية
لقد أثبتنا أن:
$$ \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) \subseteq \operatorname{Int}(A \times B) $$
وأن:
$$ \operatorname{Int}(A \times B) \subseteq \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) $$
وبما أن كل مجموعة محتواة في الأخرى، فإنهما متساويتان. لذلك نستنتج أن:
$$ \operatorname{Int}(A \times B) = \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) $$
وهكذا نصل إلى النتيجة المهمة التالية: عند التعامل مع حاصل الضرب الديكارتي لمجموعتين، يمكن حساب الداخل ببساطة من خلال حساب داخل كل مجموعة على حدة ثم تكوين حاصل الضرب الديكارتي بينهما.
