مبرهنة الفضاءات الجزئية في فضاءات الجداء

إذا كانت \(A\) و\(B\) مجموعتين جزئيتين من الفضاءين الطوبولوجيين \(X\) و\(Y\) على الترتيب، $$ A \subset X $$ $$ B \subset Y $$ فإن الطوبولوجيا المعرفة على الجداء \(A \times B\)، عند اعتباره فضاءً جزئيًا من \(X \times Y\)، تتطابق مع طوبولوجيا الجداء المبنية على \(A \times B\) انطلاقًا من الطوبولوجيتين الموروثتين على \(A\) و\(B\) من \(X\) و\(Y\).  $$ \quad \tau_{A \times B}^{\text{sub}} = \tau_A^{\text{sub}} \times \tau_B^{\text{sub}} $$

وترمز \(\tau_{A \times B}^{\text{sub}}\) إلى طوبولوجيا الفضاء الجزئي على \(A \times B\) المستحثة من الفضاء \(X \times Y\)،

بينما ترمز \(\tau_A^{\text{sub}}\) و\(\tau_B^{\text{sub}}\) إلى الطوبولوجيتين الموروثتين على \(A\) و\(B\) من \(X\) و\(Y\) على الترتيب.

وتوضح هذه المبرهنة أن هناك طريقتين مختلفتين لتعريف الطوبولوجيا على \(A \times B\)، لكنهما تؤديان في النهاية إلى النتيجة نفسها.

فإذا اعتبرنا \(A \times B\) فضاءً جزئيًا من \(X \times Y\)، فإننا نحصل على طوبولوجيا معينة. وإذا أنشأنا طوبولوجيا الجداء مباشرة على \(A \times B\) باستخدام الطوبولوجيتين الموروثتين على \(A\) و\(B\)، فسنحصل على الطوبولوجيا نفسها تمامًا.

وبالتالي، فإن البنية الطوبولوجية للفضاء \(A \times B\) لا تعتمد على الطريقة التي نختارها لبنائها.

مثال تطبيقي

لفهم هذه الفكرة بصورة أوضح، لننظر إلى مثال بسيط.

لنعتبر فضاءين طوبولوجيين \(X\) و\(Y\). ويمكن تمثيلهما بالمستوى الديكارتي، بحيث يمثل \(X\) محور \(x\)، ويمثل \(Y\) محور \(y\).

والآن، لنأخذ مجموعتين جزئيتين من هذين الفضاءين. لتكن \(A\) مجموعة جزئية من \(X\)، ولتكن \(B\) مجموعة جزئية من \(Y\).

فعلى سبيل المثال، يمكن أن تكون \(A\) الفترة \([1, 2]\) على محور \(x\)، ويمكن أن تكون \(B\) الفترة \([3, 4]\) على محور \(y\).

ويتكون الجداء الديكارتي \(A \times B\) من جميع الأزواج المرتبة \((x, y)\)، حيث تنتمي \(x\) إلى \(A\) وتنتمي \(y\) إلى \(B\).

وفي هذه الحالة، يمثل \(A \times B\) مستطيلاً داخل المستوى، حيث تتراوح قيم \(x\) بين 1 و2، بينما تتراوح قيم \(y\) بين 3 و4.

يمكن الآن تعريف طوبولوجيا على \(A \times B\) بطريقتين مختلفتين:

1. طوبولوجيا الفضاء الجزئي
   في هذه الطريقة، نعتبر \(A \times B\) فضاءً جزئيًا من الجداء \(X \times Y\)، حيث يمثل \(X \times Y\) المستوى بأكمله. ومن ثم، نأخذ الطوبولوجيا المعرفة على \(X \times Y\)، ثم نقيدها على المجموعة الجزئية \(A \times B\).
2. طوبولوجيا الجداء
   في هذه الطريقة، نبني طوبولوجيا مباشرة على \(A \times B\) باستخدام الطوبولوجيتين الموروثتين على \(A\) و\(B\). وهنا نتعامل مع \(A\) و\(B\) باعتبارهما فضاءين طوبولوجيين مستقلين، ثم نبني طوبولوجيا الجداء عليهما.

ورغم اختلاف الطريقتين، فإن النتيجة النهائية واحدة.

فطوبولوجيا الفضاء الجزئي وطوبولوجيا الجداء متطابقتان تمامًا في هذه الحالة.

ولهذا السبب، يمكن استعمال أي من الطريقتين دون أن يتغير البناء الطوبولوجي للفضاء \(A \times B\).

وينطبق هذا المبدأ على أمثلة وحالات أخرى مشابهة أيضًا.