مبرهنة التلصيق

تنص مبرهنة التلصيق على أنه إذا كان لدينا فضاء طوبولوجي \( X \) مغطى بمجموعتين مغلقتين \( A \) و\( B \) بحيث \( A \cup B = X \)، وكانت هناك دالتان مستمرتان \( f: A \to Y \) و\( g: B \to Y \) إلى فضاء طوبولوجي آخر \( Y \)، وتتفقان على مجموعة التقاطع \( A \cap B \)، فإن بالإمكان جمعهما في دالة واحدة \( h: X \to Y \) معرفة بالعلاقة: $$ h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{إذا كان } x \in A, \\ g(x) & \text{إذا كان } x \in B, \end{cases} $$ وتكون هذه الدالة مستمرة على الفضاء كله \( X \).

وتُعد مبرهنة التلصيق من النتائج الأساسية في الطوبولوجيا، لأنها تتيح بناء دوال مستمرة على فضاءات كبيرة انطلاقًا من دوال أبسط معرفة على أجزاء أصغر منها. والفكرة الجوهرية بسيطة: إذا كانت الدوال متوافقة على المناطق المشتركة بينها، فيمكن دمجها في دالة واحدة من دون فقدان خاصية الاستمرارية.

مثال عملي

لنفترض أن لدينا الدالتين التاليتين:

• \( f: [0, 1] \to \mathbb{R} \)، حيث \( f(x) = x \).
• \( g: [1, 2] \to \mathbb{R} \)، حيث \( g(x) = 2 - x \).

كلتا الدالتين مستمرة على مجال تعريفها. للتحقق من إمكانية تطبيق مبرهنة التلصيق، نراجع الشروط واحدًا تلو الآخر.

1. المجموعتان مغلقتان
   المجالان \( [0,1] \) و\( [1,2] \) مجموعتان مغلقتان في \( \mathbb{R} \).
2. الاتحاد يغطي المجال المطلوب
   إذا وضعنا \( A=[0,1] \) و\( B=[1,2] \)، فإن \( A \cup B = [0,2] \).
3. الدالتان متطابقتان على التقاطع
   لدينا \( A \cap B = \{1\} \). وعند هذه النقطة:
   \( f(1)=1 \)
   \( g(1)=2-1=1 \)
   وبالتالي \( f(1)=g(1) \).

بما أن جميع الشروط متحققة، يمكننا تعريف دالة جديدة على المجال الكامل \( [0,2] \):

$$ h(x) = \begin{cases} x & \text{إذا كان } x \in [0,1], \\ 2-x & \text{إذا كان } x \in [1,2]. \end{cases} $$

وتكون هذه الدالة مستمرة على المجال كله، وفقًا لمبرهنة التلصيق.

ومن الناحية الهندسية، تمثل الدالة \( h \) خطًا مستقيمًا متزايدًا من النقطة \( (0,0) \) إلى النقطة \( (1,1) \)، ثم خطًا مستقيمًا متناقصًا من النقطة \( (1,1) \) إلى النقطة \( (2,0) \). ويلتقي الجزآن عند النقطة نفسها من دون أي فجوة أو قفزة، ولذلك تبقى الدالة مستمرة.

برهان المبرهنة

لإثبات أن الدالة \( h \) مستمرة، سنستخدم تعريف الاستمرارية القائم على الصور العكسية للمجموعات المغلقة.

يكفي أن نبرهن أنه لكل مجموعة مغلقة \( C \subseteq Y \)، تكون الصورة العكسية \( h^{-1}(C) \) مجموعة مغلقة في \( X \).

وبما أن الدالة \( h \) تُعرَّف بواسطة الدالتين \( f \) و\( g \)، فإن الصورة العكسية للمجموعة \( C \) يمكن كتابتها بالشكل:

$$ h^{-1}(C)=f^{-1}(C)\cup g^{-1}(C). $$

حيث:

• \( f^{-1}(C) \) هي مجموعة النقاط في \( A \) التي تنتمي صورها إلى \( C \).
• \( g^{-1}(C) \) هي مجموعة النقاط في \( B \) التي تنتمي صورها إلى \( C \).

ولأن \( f \) مستمرة، فإن \( f^{-1}(C) \) مجموعة مغلقة في \( A \). وبما أن \( A \) مغلقة في \( X \)، فإن \( f^{-1}(C) \) تكون مغلقة في \( X \).

وبالمثل، بما أن \( g \) مستمرة، فإن \( g^{-1}(C) \) مجموعة مغلقة في \( B \). ولأن \( B \) مغلقة في \( X \)، فإن \( g^{-1}(C) \) تكون مغلقة في \( X \).

إذن كل من \( f^{-1}(C) \) و\( g^{-1}(C) \) مغلق في \( X \)، ومن ثم يكون اتحادهما:

$$ h^{-1}(C)=f^{-1}(C)\cup g^{-1}(C) $$

مجموعة مغلقة أيضًا، لأن اتحاد عدد منتهٍ من المجموعات المغلقة يظل مجموعة مغلقة.

وبذلك تكون الصورة العكسية لكل مجموعة مغلقة في \( Y \) مغلقة في \( X \)، وهو ما يثبت أن \( h \) دالة مستمرة.

وهذا يختتم برهان مبرهنة التلصيق.