تقاطع المجموعات المفتوحة في الطوبولوجيا الحاصلية

في الطوبولوجيا الحاصلية، تكون الصورة السابقة للتقاطع المنتهي لعائلة من المجموعات المفتوحة $ U_i $ مساوية لتقاطع الصور السابقة لهذه المجموعات، وهو ما ينتج عنه مجموعة مفتوحة في الطوبولوجيا الأصلية للفضاء $X$. $$ p^{-1}\!\left(\bigcap U_i\right)=\bigcap p^{-1}(U_i) $$ وبالتالي فإن التقاطع المنتهي للمجموعات المفتوحة يظل مجموعة مفتوحة في الطوبولوجيا الحاصلية.

مثال توضيحي

لننظر إلى الفضاء الحاصلي المعروف $ A=\mathbb{R}/\mathbb{Z} $، والذي يمكن تصوّره هندسيًا على هيئة دائرة.

في هذا السياق، يكون الفضاء الأصلي هو مجموعة الأعداد الحقيقية $ \mathbb{R} $، بينما يعرَّف تطبيق القسمة $ p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}/\mathbb{Z} $ بحيث يربط كل عدد حقيقي بجزئه الكسري.

ويمكن تمثيل هذا الفضاء الحاصلي بالفترة نصف المفتوحة [0,1).

فعلى سبيل المثال، تمثِّل الأعداد 0.3 و1.3 و2.3 النقطة نفسها على الدائرة، وهي النقطة 0.3.

مثال على الفضاء الحاصلي

لنأخذ الآن مجموعتين مفتوحتين في الدائرة $ A $:

$$ U_1=(0.1,0.5) $$

$$ U_2=(0.3,0.7) $$

وتُعد هاتان الفترتان مجموعتين مفتوحتين في الطوبولوجيا الحاصلية على $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $.

لنحسب تقاطعهما:

$$ U_1\cap U_2=(0.3,0.5) $$

ومن السهل ملاحظة أن هذا التقاطع مفتوح على الدائرة، لأنه ليس إلا فترة مفتوحة أخرى.

أما في $ \mathbb{R} $، فإن الصور السابقة لهاتين المجموعتين تحت تطبيق القسمة $ p $ تتكوّن من اتحاد لا نهائي لفترات مفتوحة تتكرر دوريًا على امتداد مستقيم الأعداد الحقيقية.

فالصورة السابقة للمجموعة $ U_1 $ هي:

$$ p^{-1}(U_1)=(0.1,0.5)\cup(1.1,1.5)\cup(2.1,2.5)\cup\dots $$

وبالمثل، تكون الصورة السابقة للمجموعة $ U_2 $ هي:

$$ p^{-1}(U_2)=(0.3,0.7)\cup(1.3,1.7)\cup(2.3,2.7)\cup\dots $$

لنحسب الآن الصورة السابقة لتقاطعهما.

فالصورة السابقة للمجموعة $ U_1\cap U_2 $ في $ \mathbb{R} $ تساوي تقاطع الصورتين السابقتين للمجموعتين $ U_1 $ و$ U_2 $:

$$ p^{-1}(U_1\cap U_2)=(0.3,0.5)\cup(1.3,1.5)\cup(2.3,2.5)\cup\dots $$

ويمثل هذا اتحادًا لفترات مفتوحة في الطوبولوجيا المعتادة على $ \mathbb{R} $، ومن ثم تكون الصورة السابقة مجموعة مفتوحة في $ \mathbb{R} $.

وبما أن الصورة السابقة للتقاطع مفتوحة في $ \mathbb{R} $، فإن ذلك يقتضي أن يكون التقاطع $ U_1\cap U_2 $ مفتوحًا في الطوبولوجيا الحاصلية على $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $.

وعليه، فإن أي تقاطع منتهٍ لمجموعات مفتوحة على الدائرة يظل مجموعة مفتوحة، كما تقتضي بديهيات الطوبولوجيا.

وينطبق الأمر نفسه على سائر الحالات المماثلة.