مبرهنة استمرارية الإغلاق

لتكن $ f : X \to Y $ دالة مستمرة، ولتكن $ A \subset X $ مجموعة. إذا كانت النقطة $ x \in X $ تنتمي إلى إغلاق المجموعة $ A $، أي $ x \in Cl(A) $، فإن صورتها $ f(x) $ تنتمي إلى إغلاق صورة المجموعة $ f(A) $، أي $ f(x) \in Cl(f(A)) $.

تُعد هذه المبرهنة من النتائج الأساسية في الطوبولوجيا العامة، لأنها تُبيّن كيف تتفاعل الدوال المستمرة مع مفهوم الإغلاق. فاستمرارية الدالة لا تحفظ النقاط داخل المجموعات فحسب، بل تحافظ أيضًا على العلاقة بين المجموعات ونقاط تماسها.

وبصيغة أكثر بساطة، إذا كانت نقطة ما تنتمي إلى إغلاق مجموعة معينة، فإن صورتها عبر دالة مستمرة ستنتمي إلى إغلاق صورة تلك المجموعة.

مثال عملي
البرهان

مثال عملي

لنأخذ الدالة المستمرة $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ المعرفة بالعلاقة $ f(x) = x^2 $، ولتكن المجموعة:

$$ A = (0,2) $$

إغلاق هذه المجموعة هو:

$$ Cl(A) = [0,2] $$

وذلك لأننا نضيف النقطتين الحدّيتين $ 0 $ و$ 2 $، وهما لا تنتميان إلى المجموعة الأصلية، ولكنهما من نقاط تماسها.

لنحسب الآن صورة المجموعة بواسطة الدالة:

$$ f(A) = (0,4) $$

فجميع قيم $ x^2 $ عندما يكون $ x $ بين $ 0 $ و$ 2 $ تقع بين $ 0 $ و$ 4 $، من دون أن تشمل القيمتين الطرفيتين.

أما إغلاق الصورة فهو:

$$ Cl(f(A)) = [0,4] $$

لأننا نضيف القيمتين الحدّيتين $ 0 $ و$ 4 $.

تنص المبرهنة على أنه إذا كانت نقطة ما تنتمي إلى $ Cl(A) $، فإن صورتها تنتمي إلى $ Cl(f(A)) $.

إذا كانت $ x = 0 $، فإن $ f(0) = 0 \in Cl(f(A)) $.
إذا كانت $ x = 2 $، فإن $ f(2) = 4 \in Cl(f(A)) $.
وإذا كانت $ 0 < x < 2 $، فإن $ f(x) $ تنتمي أيضًا إلى $ Cl(f(A)) $.

وبذلك نرى بوضوح أن جميع نقاط إغلاق المجموعة $ A $ تتحول إلى نقاط ضمن إغلاق الصورة $ f(A) $، وهو ما تؤكده المبرهنة.

البرهان

لتكن $ f : X \to Y $ دالة مستمرة، ولتكن $ x \in X $ و$ A \subset X $.

سنبرهن النتيجة بطريقة غير مباشرة. لنفترض أن صورة النقطة $ x $ لا تنتمي إلى إغلاق $ f(A) $.

$$ f(x) \notin Cl(f(A)) $$

بحسب تعريف الإغلاق، فإن هذا يعني وجود جوار مفتوح $ B \subseteq Y $ يحتوي على $ f(x) $ ولا يتقاطع مع $ f(A) $.

أي أن:

$$ B \cap f(A) = \emptyset $$

وبما أن الدالة $ f $ مستمرة، فإن الصورة العكسية للمجموعة المفتوحة $ B $، أي $ f^{-1}(B) $، تكون مجموعة مفتوحة في $ X $.

كما أن هذه المجموعة تحتوي على النقطة $ x $، وبالتالي فهي جوار مفتوح لها.

ومن جهة أخرى، بما أن $ B $ لا يتقاطع مع $ f(A) $، فإن الصورة العكسية $ f^{-1}(B) $ لا تتقاطع مع المجموعة $ A $.

أي:

$$ f^{-1}(B) \cap A = \emptyset $$

وهذا يعني أن هناك جوارًا مفتوحًا للنقطة $ x $ لا يحتوي على أي نقطة من المجموعة $ A $.

لكن هذا يتعارض مع كون $ x $ نقطة من إغلاق $ A $. ووفقًا لتعريف الإغلاق، يجب أن يتقاطع كل جوار مفتوح للنقطة $ x $ مع المجموعة $ A $.

لذلك نستنتج أن:

$$ x \notin Cl(A) $$

وبذلك أثبتنا أنه إذا كان:

$$ f(x) \notin Cl(f(A)) $$

فإن:

$$ x \notin Cl(A) $$

وهذه هي المقابلة المنطقية لعبارة المبرهنة الأصلية، ومن ثم تكون المبرهنة قد ثبتت.

ملاحظة: الفكرة الجوهرية وراء هذا البرهان هي أن الدالة المستمرة لا تستطيع أن تُبعِد نقطةً عن مجموعة ما إذا كانت تلك النقطة قريبة منها بالمعنى الطوبولوجي. فالقرب المعبَّر عنه بواسطة الإغلاق يبقى محفوظًا تحت تأثير الدوال المستمرة.

وهكذا.