مبرهنة استمرارية الدالة وتقارب المتتاليات

إذا كانت الدالة $ f: X \to Y $ مستمرة، وكانت متتالية النقاط $ x_1, x_2, \dots $ في $ X $ تتقارب إلى نقطة $ x $، فإن متتالية الصور $ f(x_1), f(x_2), \dots $ تتقارب إلى الصورة $ f(x) $ في $ Y $.

بمعنى آخر، الدالة المستمرة تحفظ تقارب المتتاليات. فإذا كانت حدود متتالية ما تقترب من نقطة معينة، فإن صور هذه الحدود بواسطة دالة مستمرة تقترب من صورة تلك النقطة.

مثال تطبيقي
البرهان

مثال تطبيقي

لنأخذ الدالة $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ المعرفة بالعلاقة $ f(x)=2x $، والمتتالية $ x_n=\frac{1}{n} $، حيث $ n \in \mathbb{N} $.

نعلم أن المتتالية $ (x_n) $ تتقارب إلى الصفر عندما $ n \to \infty $.

فحدودها الأولى هي:

$ x_1=1 $، و$ x_2=\frac{1}{2} $، و$ x_3=\frac{1}{3} $، وهكذا.

ومع ازدياد قيمة $ n $، تقترب الحدود أكثر فأكثر من الصفر.

لنطبّق الآن الدالة $ f $ على كل حد من حدود المتتالية:

$$ f(x_1)=f(1)=2 $$

$$ f(x_2)=f\left(\frac{1}{2}\right)=1 $$

$$ f(x_3)=f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3} $$

$$ ... $$

وبذلك نحصل على المتتالية الجديدة $ f(x_n)=2x_n $، أي:

$ 2,\;1,\;\frac{2}{3},\;\dots $

وهذه المتتالية أيضًا تتقارب إلى الصفر.

إذن فإن المتتالية $ (f(x_n)) $ تتقارب إلى $ f(0)=0 $، وهو تمامًا ما تنص عليه المبرهنة.

ويُظهر هذا المثال بوضوح أن الدالة المستمرة لا تغيّر سلوك التقارب، بل تنقله من المتتالية الأصلية إلى متتالية صورها.

البرهان

لإثبات أن المتتالية $ (f(x_n)) $ تتقارب إلى $ f(x) $، ننطلق من فرضية أن الدالة $ f $ مستمرة، ثم نستفيد من التعريف الطوبولوجي للاستمرارية.

وينص هذا التعريف على أن الصورة العكسية لأي مجموعة مفتوحة في $ Y $ هي مجموعة مفتوحة في $ X $.

وباستخدام هذه الخاصية سنبرهن أنه، مهما يكن الجوار $ U $ للنقطة $ f(x) $، فإن حدود المتتالية $ f(x_n) $ تصبح جميعها ضمن هذا الجوار ابتداءً من رتبة معينة.

الخطوة الأولى: اختيار جوار اعتباطي للنقطة $ f(x) $

لنعتبر جوارًا اعتباطيًا $ U $ للنقطة $ f(x) $ في الفضاء $ Y $.

أي إن $ U $ مجموعة مفتوحة تحتوي على $ f(x) $.

وهدفنا هو إثبات أنه يوجد عدد طبيعي تصبح بعده جميع حدود المتتالية $ f(x_n) $ منتمية إلى $ U $.

الخطوة الثانية: الصورة العكسية للمجموعة $ U $

بما أن الدالة $ f $ مستمرة، فإن الصورة العكسية للمجموعة $ U $، والتي نرمز إليها بـ $ f^{-1}(U) $، هي مجموعة مفتوحة في $ X $.

وبعبارة أخرى، فإن كل نقطة تنتمي إلى $ f^{-1}(U) $ تكون صورتها بالدالة $ f $ منتمية إلى $ U $.

ولأن $ f(x)\in U $، فإن $ x\in f^{-1}(U) $.

الخطوة الثالثة: استخدام تقارب المتتالية $ (x_n) $

بفرض أن المتتالية $ (x_n) $ تتقارب إلى $ x $، فإن تعريف التقارب يضمن أنه لكل جوار للنقطة $ x $، يوجد عدد طبيعي $ N $ بحيث إذا كان $ n\geq N $، فإن $ x_n $ ينتمي إلى ذلك الجوار.

وبما أن $ f^{-1}(U) $ جوار مفتوح للنقطة $ x $، فيمكن تطبيق هذا التعريف عليه مباشرة.

الخطوة الرابعة: وجود العدد $ N $

إذن يوجد عدد طبيعي $ N $ بحيث إنه لكل $ n\geq N $، يكون $ x_n\in f^{-1}(U) $.

وبحسب تعريف الصورة العكسية، فإن ذلك يكافئ القول إن:

$$ f(x_n)\in U \qquad \text{لكل } n\geq N $$

النتيجة

بما أن جميع حدود المتتالية $ f(x_n) $ تنتمي إلى الجوار $ U $ ابتداءً من رتبة معينة، فإن المتتالية $ (f(x_n)) $ تتقارب إلى $ f(x) $.

وبذلك نكون قد أثبتنا أن الدالة المستمرة تحفظ تقارب المتتاليات: فإذا كانت $ (x_n) $ تتقارب إلى $ x $، فإن متتالية الصور $ (f(x_n)) $ تتقارب إلى $ f(x) $.

وتُعد هذه المبرهنة من النتائج الأساسية في التحليل الرياضي والطوبولوجيا، لأنها تُبرز العلاقة الوثيقة بين استمرارية الدوال وسلوك المتتاليات المتقاربة.