استمرارية تطبيق التضمين في الطوبولوجيا
إذا كان \( X \) فضاءً طوبولوجيًا وكانت \( Y \) فضاءً جزئيًا منه، فإن تطبيق التضمين \( f : Y \to X \) يُعرَّف بالعلاقة \( f(y) = y \) لكل \( y \in Y \). ويُعد هذا التطبيق مستمرًا.
يُستخدم تطبيق التضمين لوصف الطريقة التي تُنظر بها عناصر الفضاء الجزئي \( Y \) باعتبارها عناصر تنتمي أيضًا إلى الفضاء الأكبر \( X \).
وبعبارة أبسط، لا يغيّر التطبيق أي عنصر من عناصر \( Y \)، بل يضعه داخل السياق الأوسع للفضاء \( X \).
وعلى الرغم من بساطة هذا التعريف، فإن تطبيق التضمين يؤدي دورًا أساسيًا في الطوبولوجيا، لأنه يربط بين الفضاءات الجزئية والفضاءات التي تحتويها.
ملاحظة: لا يُعد تطبيق التضمين هو نفسه تطبيق الهوية. فتطبيق التضمين ينتقل من فضاء جزئي إلى فضاء أكبر، بينما يُعرَّف تطبيق الهوية على فضاء واحد ويُرجع كل عنصر فيه إلى نفسه.
لماذا يكون تطبيق التضمين مستمرًا؟
في الطوبولوجيا، يكون التطبيق مستمرًا إذا كانت الصورة العكسية لأي مجموعة مفتوحة مجموعةً مفتوحة أيضًا.
وبصورة أدق، إذا كانت \( U \) مجموعة مفتوحة في الفضاء \( X \)، فإن استمرارية التطبيق \( f \) تتطلب أن تكون الصورة العكسية \( f^{-1}(U) \) مجموعة مفتوحة في \( Y \).
وفقًا لتعريف طوبولوجيا الفضاء الجزئي، فإن المجموعات المفتوحة في \( Y \) تُستخرج من خلال تقاطع المجموعات المفتوحة في \( X \) مع \( Y \).
ولهذا السبب نحصل على العلاقة التالية:
$$ f^{-1}(U) = U \cap Y $$
وبما أن \( U \cap Y \) تكون مفتوحة في \( Y \) كلما كانت \( U \) مفتوحة في \( X \)، فإن تطبيق التضمين يحقق شرط الاستمرارية مباشرةً.
ملاحظة: يوضح هذا الأمر أن طوبولوجيا الفضاء الجزئي صيغت بطريقة تجعل تطبيق التضمين مستمرًا بصورة طبيعية.
مثال عملي
لنأخذ الفضاء الطوبولوجي \( X = \mathbb{R} \)، أي مستقيم الأعداد الحقيقية، ولنفترض أن الفضاء الجزئي هو:
$$ Y = (0,1) $$
وهو المجال المفتوح الواقع بين 0 و1.
في هذه الحالة يُعرَّف تطبيق التضمين كما يلي:
$$ f : Y \to X $$
$$ f(y) = y \ \ \ \text{لكل} \ \ y \in (0,1) $$
وهذا يعني أن الأعداد الواقعة بين 0 و1 تبقى كما هي تمامًا، ولكن يُنظر إليها الآن باعتبارها عناصر من مستقيم الأعداد الحقيقية كله.
لنفترض أن لدينا المجموعة المفتوحة التالية في \( X \):
$$ U = (-1,0.5) $$
عند تقاطع هذه المجموعة مع الفضاء الجزئي \( Y = (0,1) \) نحصل على:
$$ U \cap Y = (-1,0.5) \cap (0,1) = (0,0.5) $$
والنتيجة هي مجال مفتوح داخل \( Y \).
وبما أن هذا يحدث مع أي مجموعة مفتوحة في \( X \)، فإن الصورة العكسية لأي مجموعة مفتوحة تبقى مفتوحة في \( Y \).
لذلك يكون تطبيق التضمين \( f : Y \to X \) مستمرًا.
ويُعد هذا المثال من أبسط الأمثلة التي توضح العلاقة بين طوبولوجيا الفضاء الجزئي ومفهوم الاستمرارية في الطوبولوجيا العامة.
