تعريف الاستمرارية بالمجموعات المفتوحة

تكون الدالة $ f : X \to Y $ مستمرة إذا وفقط إذا تحقق الشرط الآتي: لكل نقطة $ x \in X $، ولكل مجموعة مفتوحة $ U \subset Y $ تحتوي على $ f(x) $، يوجد جوار $ V $ للنقطة $ x $ بحيث $ f(V) \subset U $.

ويمكن التعبير عن الفكرة بطريقة أبسط وأكثر شيوعًا على النحو الآتي:

تكون الدالة $ f: X \to Y $ مستمرة إذا كانت الصورة العكسية $ f^{-1}(U) $ لأي مجموعة مفتوحة $ U \subset Y $ مجموعةً مفتوحةً في $ X $.

مثال

بمعنى آخر، لا تؤدي الدالة المستمرة إلى تحويل مجموعة مفتوحة في المجال المقابل إلى صورة عكسية غير مفتوحة في المجال. فكل مجموعة مفتوحة في المجال المقابل تقابلها صورة عكسية مفتوحة في المجال.

يُعد هذا التعريف من أهم التعريفات الطوبولوجية للاستمرارية، لأنه يعتمد فقط على مفهوم المجموعات المفتوحة دون الحاجة إلى المسافات أو النهايات أو مقادير $\varepsilon$ و$\delta$.

ولهذا السبب يُعرف أيضًا باسم تعريف الاستمرارية بالمجموعات المفتوحة.

ملاحظة: تُعرف هذه النتيجة كذلك باسم "تكافؤ تعريفات الاستمرارية"، لأنها تبيّن أن التعريف الطوبولوجي للاستمرارية باستخدام المجموعات المفتوحة مكافئ للتعريف التحليلي المعروف في التفاضل والتكامل. وينص التعريف التحليلي للاستمرارية على ما يلي: "تكون الدالة $ f $ مستمرة عند النقطة $ x_0 \in \mathbb{R} $ إذا كان لكل $\varepsilon > 0$ عدد $ \delta > 0 $ بحيث إنه لكل $ x \in \mathbb{R} $، إذا تحقق $ |x - x_0| < \delta $، فإن $ |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon $". وهذا هو التعريف الذي يُدرَّس عادةً في المقررات التمهيدية للتفاضل والتكامل.

ومن المثير للاهتمام أن الاستمرارية يمكن تعريفها أيضًا باستخدام المجموعات المغلقة.

فإذا كان $ X $ و$ Y $ فضاءين طوبولوجيين، فإن الدالة $ f: X \to Y $ تكون مستمرة إذا وفقط إذا كانت الصورة العكسية $ f^{-1}(C) $ لكل مجموعة مغلقة $ C $ في $ Y $ مجموعةً مغلقةً في $ X $.

وهكذا يمكن وصف الاستمرارية باستخدام المجموعات المفتوحة أو المجموعات المغلقة على السواء، لأن مفهومي الانفتاح والانغلاق يرتبطان ارتباطًا وثيقًا في الطوبولوجيا.

مثال تطبيقي
البرهان

مثال تطبيقي

لنطبق هذا التعريف على مثال بسيط ومألوف.

لنأخذ الدالة:

$$ f(x)=x^2 $$

حيث $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $.

نريد التحقق من أن هذه الدالة مستمرة باستخدام تعريف الاستمرارية بالمجموعات المفتوحة.

اختر مجموعة مفتوحة في $ \mathbb{R} $، ولتكن:

$$ U=(1,4) $$

وهي الفترة التي تضم جميع الأعداد الواقعة بين 1 و4.

مثال على مجموعة مفتوحة

الخطوة الأولى هي إيجاد الصورة العكسية لهذه المجموعة.

نبحث عن جميع القيم $ x $ التي تحقق:

$$ x^2 \in (1,4) $$

أي:

$$ 1

ومنها نحصل على:

$$ 1<|x|<2 $$

وبالتالي:

$$ x \in (-2,-1)\cup(1,2) $$

إذن:

$$ f^{-1}(U)=(-2,-1)\cup(1,2) $$

وهذه مجموعة مفتوحة في $ \mathbb{R} $.

والآن نتحقق من شرط الاستمرارية عند إحدى نقاط هذه المجموعة.

لنختر النقطة:

$$ x=1.5 $$

عندئذٍ تكون صورتها:

$$ f(1.5)=1.5^2=2.25 $$

وهي قيمة تنتمي إلى الفترة $ (1,4) $.

مثال

نحتاج الآن إلى إيجاد جوار حول $ x=1.5 $ تبقى صورته داخل $ U $.

لنأخذ الفترة:

$$ V=(1.4,1.6) $$

مثال

بحساب صور طرفي هذه الفترة نجد:

$$ f(1.4)=1.96 $$

$$ f(1.6)=2.56 $$

ومن ثم:

$$ f(V)=(1.96,2.56) $$

ومن الواضح أن:

$$ f(V)\subset(1,4) $$

أي أن جميع نقاط الجوار $ V $ تُرسَل إلى نقاط تقع داخل المجموعة المفتوحة $ U $.

وبذلك يتحقق شرط الاستمرارية عند هذه النقطة.

وبنفس الطريقة يمكن التحقق من الشرط عند أي نقطة أخرى من المجال، مما يؤكد أن الدالة $ f(x)=x^2 $ دالة مستمرة.

ملاحظة: لا يكفي التحقق من الشرط عند نقطة واحدة فقط. فاستمرارية الدالة خاصية يجب أن تتحقق عند جميع نقاط المجال. لذلك، لإثبات أن الدالة $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ مستمرة، يجب البرهنة على أنه لكل نقطة $ x \in \mathbb{R} $ ولكل مجموعة مفتوحة $ U $ تحتوي على $ f(x) $، يوجد جوار $ V $ للنقطة $ x $ بحيث $ f(V)\subset U $.

البرهان

سنبرهن الآن على تكافؤ التعريفين المستخدمين للاستمرارية.

أ] الجزء الأول

افترض أن الدالة $ f $ مستمرة وفق تعريف المجموعات المفتوحة.

لنأخذ نقطة $ x \in X $ ومجموعة مفتوحة $ U \subset Y $ بحيث:

$$ f(x)\in U $$

ولنعرّف:

$$ V=f^{-1}(U) $$

وهي مجموعة جميع النقاط في $ X $ التي تُرسَل إلى $ U $ بواسطة الدالة $ f $.

وبما أن $ f $ مستمرة، فإن الصورة العكسية لأي مجموعة مفتوحة تكون مفتوحة، وبالتالي فإن $ V $ مجموعة مفتوحة في $ X $.

كما أن:

$$ x\in V $$

$$ f(V)\subset U $$

ومن ثم، لكل مجموعة مفتوحة $ U $ تحتوي على $ f(x) $، يوجد جوار مفتوح $ V $ يحتوي على $ x $.

ب] الجزء الثاني

افترض الآن أنه لكل نقطة $ x \in X $ ولكل مجموعة مفتوحة $ U \subset Y $ تحتوي على $ f(x) $، يوجد جوار $ V $ للنقطة $ x $ بحيث:

$$ f(V)\subset U $$

نريد إثبات أن الصورة العكسية لأي مجموعة مفتوحة هي مجموعة مفتوحة.

لنأخذ مجموعة مفتوحة $ W \subset Y $، ولنختر نقطة:

$$ x\in f^{-1}(W) $$

أي أن:

$$ f(x)\in W $$

وبحسب الفرض، يوجد جوار مفتوح $ V_x $ للنقطة $ x $ بحيث:

$$ f(V_x)\subset W $$

ومن ثم:

$$ V_x\subset f^{-1}(W) $$

أي أن كل نقطة في $ f^{-1}(W) $ تمتلك جوارًا مفتوحًا محتوى بالكامل داخل هذه المجموعة.

وهذا هو بالضبط تعريف المجموعة المفتوحة.

إذن فإن $ f^{-1}(W) $ مجموعة مفتوحة في $ X $.

الخلاصة

لقد أثبتنا أن تعريف الاستمرارية باستخدام المجموعات المفتوحة وتعريفها باستخدام الجوارات يؤديان إلى النتيجة نفسها.

وبذلك يتبين أن التعريفين متكافئان تمامًا، وأن أيًّا منهما يمكن استخدامه لوصف مفهوم الاستمرارية في الفضاءات الطوبولوجية.