الاستمرارية بدلالة المجموعات المغلقة

لتكن \( X \) و\( Y \) فضاءين طوبولوجيين. تكون الدالة \( f: X \to Y \) مستمرة إذا وفقط إذا كانت الصورة العكسية لكل مجموعة مغلقة \( C \subseteq Y \) مجموعةً مغلقةً في \( X \).

تُعد هذه المبرهنة إحدى الصيغ الأساسية لتوصيف الاستمرارية في الطوبولوجيا. فبدلًا من الاعتماد على المجموعات المفتوحة كما في التعريف التقليدي، يمكن استخدام المجموعات المغلقة والحصول على معيار مكافئ تمامًا.

فعادةً ما تُعرَّف الاستمرارية بالقول إن الصورة العكسية لأي مجموعة مفتوحة في \( Y \) يجب أن تكون مجموعة مفتوحة في \( X \).

غير أن هذه المبرهنة تُظهر أن الشرط نفسه يمكن التعبير عنه بطريقة أخرى، وهي أن الصورة العكسية لأي مجموعة مغلقة في \( Y \) يجب أن تكون مجموعة مغلقة في \( X \).

ملاحظة: ترجع إمكانية استخدام المجموعات المغلقة بدلًا من المفتوحة إلى أن كل مجموعة مغلقة هي متممة مجموعة مفتوحة، وكل مجموعة مفتوحة هي متممة مجموعة مغلقة. ولهذا السبب فإن التعريفين متكافئان تمامًا.

مثال تطبيقي

لنأخذ الدالة \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) المعرفة بالعلاقة:

$$ f(x)=x^2 $$

مع الطوبولوجيا القياسية على مجموعة الأعداد الحقيقية \( \mathbb{R} \).

للتحقق من الاستمرارية باستخدام هذه المبرهنة، يكفي أن ندرس الصورة العكسية لمجموعة مغلقة في \( Y \).

لنختر المجموعة المغلقة:

$$ C=[1,+\infty) $$

وهي مجموعة مغلقة في \( Y \).

عند حساب صورتها العكسية بواسطة الدالة \( f \) نحصل على:

$$ f^{-1}(C)=\{x\in\mathbb{R}:x^2\in[1,+\infty)\}=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty) $$

وهذه المجموعة مغلقة في \( \mathbb{R} \)، لأنها اتحاد منتهٍ لمجموعتين مغلقتين.

إذن الصورة العكسية للمجموعة المغلقة \( C \) هي أيضًا مجموعة مغلقة. وينطبق المنطق نفسه على سائر المجموعات المغلقة، مما يؤدي إلى استنتاج أن الدالة \( f(x)=x^2 \) مستمرة.

البرهان

لإثبات المبرهنة، نبرهن أولًا أن الاستمرارية تؤدي إلى انغلاق الصور العكسية للمجموعات المغلقة، ثم نبرهن العكس.

1] (⇒) إذا كانت \( f \) مستمرة، فإن الصورة العكسية لكل مجموعة مغلقة تكون مغلقة:

افترض أن \( f \) مستمرة. ووفقًا للتعريف المعتاد، فإن الصورة العكسية لكل مجموعة مفتوحة في \( Y \) تكون مفتوحة في \( X \).

خذ مجموعة مغلقة \( C \subseteq Y \). وبما أن \( C \) مغلقة، فإن متممتها \( Y\setminus C \) مجموعة مفتوحة.

ومن ثم تكون الصورة العكسية:

$$ f^{-1}(Y\setminus C) $$

مجموعة مفتوحة في \( X \).

وبما أن الصورة العكسية تحافظ على عملية أخذ المتممة، فإن:

$$ f^{-1}(Y\setminus C)=X\setminus f^{-1}(C) $$

وعليه فإن \( X\setminus f^{-1}(C) \) مجموعة مفتوحة، وهذا يعني أن \( f^{-1}(C) \) مجموعة مغلقة.

وبذلك يثبت الاتجاه الأول.

2] (⇐) إذا كانت الصورة العكسية لكل مجموعة مغلقة مغلقة، فإن \( f \) مستمرة:

افترض الآن أن الصورة العكسية لكل مجموعة مغلقة في \( Y \) هي مجموعة مغلقة في \( X \).

لنأخذ مجموعة مفتوحة \( U \subseteq Y \). نريد إثبات أن \( f^{-1}(U) \) مفتوحة في \( X \).

بما أن \( U \) مفتوحة، فإن متممتها \( Y\setminus U \) مجموعة مغلقة.

وبحسب الفرض، فإن:

$$ f^{-1}(Y\setminus U) $$

مجموعة مغلقة في \( X \).

ومن جهة أخرى:

$$ f^{-1}(Y\setminus U)=X\setminus f^{-1}(U) $$

أي إن متممة \( f^{-1}(U) \) مغلقة، ومن ثم تكون \( f^{-1}(U) \) مجموعة مفتوحة.

وهذا يثبت أن \( f \) مستمرة.

الخلاصة

أثبتنا أن الشرطين متكافئان تمامًا. لذلك يمكن تعريف استمرارية الدالة بين فضاءين طوبولوجيين بإحدى الطريقتين التاليتين:

• الصورة العكسية لكل مجموعة مفتوحة هي مجموعة مفتوحة.
• الصورة العكسية لكل مجموعة مغلقة هي مجموعة مغلقة.

ويُعد هذا التكافؤ من النتائج الأساسية في الطوبولوجيا، لأنه يتيح اختيار الصيغة الأنسب بحسب طبيعة المسألة أو البرهان الذي نعمل عليه.