نظرية اتصال تأليف الدوال
إذا كانت الدالتان \( f: X \to Y \) و\( g: Y \to Z \) متصلتين، فإن تأليفهما \( g \circ f: X \to Z \) يكون أيضًا دالةً متصلة.
توضح هذه النظرية أن خاصية الاتصال لا تضيع عند تأليف دالتين متصلتين. فإذا كانت لدينا الدالتان:
- \( f: X \to Y \)
- \( g: Y \to Z \)
فإن الدالة الناتجة عن تطبيق \( f \) أولًا ثم تطبيق \( g \)، أي \( g \circ f \)، تكون هي الأخرى دالةً متصلة.
وبعبارة أبسط، إذا انتقلنا من \( X \) إلى \( Y \) بواسطة الدالة \( f \)، ثم من \( Y \) إلى \( Z \) بواسطة الدالة \( g \)، فإن الدالة الناتجة عن هاتين الخطوتين تحافظ على خاصية الاتصال.
مثال عملي
لنطبق هذه النظرية على مثال بسيط. نفرض أن:
$$ f(x) = x^2 \quad \text{على} \quad \mathbb{R} $$
$$ g(y) = \frac{y}{2} \quad \text{على} \quad \mathbb{R} $$
كلتا الدالتين متصلتان على مجموعة الأعداد الحقيقية \( \mathbb{R} \).
نريد التحقق من أن الدالة المؤلَّفة \( g \circ f(x) \) متصلة أيضًا على \( \mathbb{R} \).
لنأخذ الفترة المفتوحة \( (-2,2) \subset \mathbb{R} \) مثالًا.
عند تطبيق الدالة \( f \) على هذه الفترة نحصل على الفترة \( (0,4) \).
ثم يصبح خرج الدالة \( f \) هو مدخل الدالة \( g \)، أي إن القيم الناتجة عن الدالة الأولى تنتقل مباشرة إلى الدالة الثانية.
وبتطبيق \( g \) على الفترة \( (0,4) \) نحصل على الفترة المفتوحة \( (0,2) \).
إذن فإن الصورة العكسية لهذه المجموعة بواسطة الدالة المؤلَّفة \( g \circ f(x)=\frac{x^2}{2} \) تظل مجموعة مفتوحة.
ولأن الصورة العكسية لأي مجموعة مفتوحة هي مجموعة مفتوحة أيضًا، فإن الدالة المؤلَّفة تحقق شرط الاتصال.
ولا يقتصر هذا الاستدلال على هذا المثال، بل ينطبق على أي مجموعة مفتوحة في \( \mathbb{R} \)، ولذلك نستنتج أن الدالة المؤلَّفة متصلة.
البرهان
لنبرهن الآن هذه النتيجة بصورة عامة.
- \( f: X \to Y \)
- \( g: Y \to Z \)
لتكن \( U \) مجموعة مفتوحة في \( Z \). والمطلوب إثبات أن الصورة العكسية للمجموعة \( U \) بواسطة الدالة المؤلَّفة \( g \circ f \)، أي \( (g \circ f)^{-1}(U) \)، هي مجموعة مفتوحة في \( X \).
بما أن الدالة \( g \) متصلة، فإن الصورة العكسية للمجموعة \( U \) بواسطة \( g \) تكون مجموعة مفتوحة في \( Y \).
وبما أن الدالة \( f \) متصلة أيضًا، فإن الصورة العكسية لهذه المجموعة المفتوحة بواسطة \( f \) تكون مجموعة مفتوحة في \( X \).
ومن ثم فإن الصورة العكسية للمجموعة \( U \) بواسطة الدالة المؤلَّفة، أي \( (g \circ f)^{-1}(U) \)، تكون مجموعة مفتوحة في \( X \).
وهذا يثبت أن الدالة المؤلَّفة \( g \circ f \) متصلة.
وبذلك يكتمل البرهان، لأن الدالة تكون متصلة إذا كانت الصورة العكسية لكل مجموعة مفتوحة مجموعةً مفتوحة.
