ليست كل دالة مستمرة دالةً مفتوحة

لا يعني كون الدالة \( f: X \to Y \) مستمرة أنها ترسل المجموعات المفتوحة في \( X \) إلى مجموعات مفتوحة في \( Y \).

ففي علم الطوبولوجيا، يُعدّ مفهوما الاستمرارية والانفتاح من المفاهيم الأساسية، إلا أنهما يعبران عن خاصيتين مختلفتين. ولهذا السبب، قد تكون الدالة مستمرة من دون أن تكون دالة مفتوحة.

إذن، ليست كل دالة مستمرة دالةً مفتوحة.

ما الدالة المفتوحة؟ الدالة المفتوحة \( f: X \to Y \) هي الدالة التي تجعل صورة كل مجموعة مفتوحة في \( X \) مجموعةً مفتوحة في \( Y \).

وبعبارة أبسط، لا تكفي الاستمرارية وحدها لضمان أن تبقى المجموعات المفتوحة مفتوحة بعد تطبيق الدالة عليها.

مثال عملي

لنأخذ الدالة

\[ f(x)=x^2 \]

وهي دالة مستمرة على مجموعة الأعداد الحقيقية \( \mathbb{R} \).

ولنعتبر المجموعة المفتوحة

\[ (-2,2) \]

التي تحتوي على جميع الأعداد الحقيقية الواقعة بين \( -2 \) و\( 2 \).

عند تطبيق الدالة \( f(x)=x^2 \) على عناصر هذه المجموعة نحصل على:

$$ f(-2)=(-2)^2=4 \\ f(0)=0^2=0 \\ f(2)=2^2=4 $$

ومن ثم تكون صورة المجموعة \( (-2,2) \) هي الفترة

\[ [0,4) \]

وهذه الفترة ليست مجموعة مفتوحة.

فالعدد \( 0 \) ينتمي إلى الفترة، لكنه لا يملك جوارًا مفتوحًا يقع بالكامل داخل \( [0,4) \). ولهذا السبب لا تُعد هذه الفترة مفتوحة من الناحية الطوبولوجية.

يوضح هذا المثال أن الدالة \( f(x)=x^2 \)، رغم كونها مستمرة، لا ترسل دائمًا المجموعات المفتوحة إلى مجموعات مفتوحة.

لذلك تُعد الدالة \( f(x)=x^2 \) دالةً مستمرة، لكنها ليست دالة مفتوحة.

الفرق بين الدوال المستمرة والدوال المفتوحة

يكمن الفرق الأساسي بين المفهومين في الطريقة التي يتعامل بها كل منهما مع المجموعات المفتوحة.

• الدالة المستمرة
  تكون الدالة \( f: X \to Y \) مستمرة إذا كانت الصورة العكسية لكل مجموعة مفتوحة في \( Y \) مجموعةً مفتوحة في \( X \).

  بمعنى آخر، إذا اخترنا مجموعة مفتوحة في المجال المقابل \( Y \)، فإن الرجوع بها عبر الدالة إلى المجال \( X \) يجب أن يعطينا مجموعة مفتوحة أيضًا. ولذلك فإن الاستمرارية تتعلق بالصور العكسية للمجموعات المفتوحة.

• الدالة المفتوحة
  تكون الدالة \( f: X \to Y \) مفتوحة إذا كانت صورة كل مجموعة مفتوحة في \( X \) مجموعةً مفتوحة في \( Y \).

  هنا يكون الاهتمام بما يحدث عند الانتقال من المجال إلى المجال المقابل. فكل مجموعة مفتوحة في \( X \) يجب أن تبقى مفتوحة بعد تطبيق الدالة عليها.

وبذلك يتضح أن الاستمرارية والانفتاح يتعاملان مع اتجاهين مختلفين:

• الاستمرارية تتعلق بالصور العكسية للمجموعات المفتوحة.
• الانفتاح يتعلق بصور المجموعات المفتوحة.

ولهذا السبب لا يستلزم أحد المفهومين الآخر بشكل عام. فقد تكون الدالة مستمرة من دون أن تكون مفتوحة، وقد توجد أيضًا دوال مفتوحة لا تكون مستمرة.

وهكذا دواليك.