Связь между внутренностью, границей и замыканием множества

В топологии важную роль играет связь между внутренностью, границей и замыканием множества. В частности, объединение границы множества \( \partial A \) и его внутренности \( \operatorname{Int}(A) \) совпадает с его замыканием:

$$ \partial A \cup \operatorname{Int}(A) = \operatorname{Cl}(A) $$

Пример

Рассмотрим множество \(A = (0, 1)\) в топологическом пространстве \(\mathbb{R}\).

Внутренность множества \(A\) это сам открытый интервал (0,1):

$$ \operatorname{Int}(A) = (0, 1) $$

Замыкание множества \(A\) расширяет его, добавляя граничные точки, и даёт замкнутый интервал [0,1]:

$$ \operatorname{Cl}(A) = [0, 1] $$

Граница множества \(A\) состоит из двух точек, 0 и 1:

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

Если объединить внутренность и границу, мы получим всё замыкание множества:

$$ \partial A \cup \operatorname{Int}(A) = \{0, 1\} \cup (0, 1) = [0, 1] $$

$$ \partial A \cup \operatorname{Int}(A) = \operatorname{Cl}(A) $$

Таким образом, объединение внутренности и границы охватывает все точки множества вместе с его «краями».

Доказательство

Чтобы понять, почему это верно, вспомним основные определения.

1. Внутренность множества \(A\) (\(\operatorname{Int}(A)\))
   Это множество всех точек \(A\), вокруг которых можно взять окрестность, полностью лежащую внутри \(A\).
2. Замыкание множества \(A\) (\(\operatorname{Cl}(A)\))
   Это множество всех точек \(A\) вместе со всеми его предельными точками. Эквивалентно, \( \operatorname{Cl}(A) = A \cup \partial A \).
3. Граница множества \(A\) (\(\partial A\))
   Это множество точек, которые одновременно «примыкают» к \(A\) и к его дополнению: \( \partial A = \operatorname{Cl}(A) \cap \operatorname{Cl}(X \setminus A) \).

Пусть \(A\) является подмножеством топологического пространства \(X\).

Из этих определений следует, что замыкание можно разложить на две части:

$$ \operatorname{Cl}(A) = \operatorname{Int}(A) \cup \partial A $$

При этом внутренность и граница не пересекаются:

$$ \operatorname{Int}(A) \cap \partial A = \varnothing $$

Следовательно, объединение внутренности и границы даёт всё замыкание множества \(A\).