Топологическая эквивалентность произведений топологических пространств

Пусть \( X \), \( Y \) и \( Z \) являются топологическими пространствами. Тогда пространства $$ (X \times Y) \times Z $$ $$ X \times (Y \times Z) $$ $$ X \times Y \times Z $$ топологически эквивалентны: $$ (X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z) \cong X \times Y \times Z $$

Это означает, что способ группировки пространств в декартовом произведении не изменяет итоговое топологическое пространство.

Иными словами, декартово произведение топологических пространств обладает свойством ассоциативности.

Замечание: Благодаря этому свойству произведение нескольких топологических пространств можно рассматривать как единый объект, не обращая внимания на расположение скобок или порядок объединения пространств. Это значительно упрощает работу с произведениями в топологии.

Практический пример

Рассмотрим простой пример с пространством \(\mathbb{R}\), то есть множеством вещественных чисел со стандартной топологией. Также будем использовать пространство \(\mathbb{R}^2\), представляющее собой декартову плоскость с топологией произведения.

Пусть:

• \(X = \mathbb{R}\)
• \(Y = \mathbb{R}\)
• \(Z = \mathbb{R}\)

Теперь посмотрим, что получится при различных способах построения произведения этих пространств.

1. Произведение (X×Y)×Z
   Сначала вычислим \(X \times Y\). Получим пространство \(\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2\), то есть обычную декартову плоскость. Затем возьмём произведение пространства \(\mathbb{R}^2\) и пространства \(Z\). Получаем пространство \(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}\). Его элементы имеют вид \(((x, y), z)\), где \(x, y, z \in \mathbb{R}\). Такое пространство естественным образом отождествляется с пространством \(\mathbb{R}^3\).
2. Произведение X×(Y×Z)
   Теперь сначала вычислим \(Y \times Z\). Снова получаем \(\mathbb{R}^2\). После этого строим произведение пространства \(X\) и пространства \(\mathbb{R}^2\), то есть \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^2\). Элементы этого пространства записываются в виде \((x, (y, z))\), где \(x, y, z \in \mathbb{R}\). Несмотря на другую расстановку скобок, это пространство также эквивалентно \(\mathbb{R}^3\).
3. Произведение X×Y×Z
   Можно сразу вычислить декартово произведение трёх пространств \(\mathbb{R}\). Тогда получим пространство троек \((x, y, z)\), где \(x, y, z \in \mathbb{R}\). Это пространство также гомеоморфно \(\mathbb{R}^3\).

Во всех трёх случаях получается одно и то же топологическое пространство с точностью до гомеоморфизма.

Таким образом, различия в расстановке скобок или в порядке выполнения произведений не влияют на итоговый результат.

Этот пример хорошо показывает, почему декартово произведение топологических пространств считается ассоциативным.