Теорема о внутренности декартова произведения множеств
Пусть множества \(A\) и \(B\) являются подмножествами топологических пространств \(X\) и \(Y\) соответственно. Тогда внутренность их декартова произведения совпадает с декартовым произведением их внутренностей: $$ \text{Int}(A \times B) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
Это важное свойство топологии произведения показывает, что операция взятия внутренности хорошо согласуется с декартовым произведением. Чтобы найти внутренность множества \(A \times B\), достаточно сначала определить внутренности множеств \(A\) и \(B\), а затем взять их декартово произведение.
Пример
Рассмотрим два топологических пространства \(X = \mathbb{R}\) и \(Y = \mathbb{R}\), а также два подмножества:
$$ A = (0,2), \qquad B = (1,3) $$
Оба множества являются открытыми интервалами на вещественной прямой. Поэтому их внутренности совпадают с самими множествами:
$$ \text{Int}(A) = (0,2) $$
$$ \text{Int}(B) = (1,3) $$
Теперь найдём декартово произведение внутренностей:
$$ \text{Int}(A)\times\text{Int}(B) = (0,2)\times(1,3) $$
Это множество всех пар \((x,y)\), для которых \(x \in (0,2)\) и \(y \in (1,3)\):
$$ \text{Int}(A)\times\text{Int}(B)=\{(x,y)\mid x\in(0,2),\; y\in(1,3)\} $$
Геометрически это открытый прямоугольник на плоскости \(\mathbb{R}^2\).
Теперь рассмотрим само декартово произведение:
$$ A \times B = (0,2)\times(1,3) $$
Поскольку это множество уже является открытым в пространстве \(\mathbb{R}^2\), его внутренность совпадает с ним самим:
$$ \text{Int}(A\times B)=(0,2)\times(1,3) $$
Следовательно,
$$ \text{Int}(A\times B)=\text{Int}(A)\times\text{Int}(B) $$
Этот пример наглядно подтверждает теорему.
Доказательство
Чтобы доказать равенство двух множеств, достаточно показать два включения. Сначала докажем, что произведение внутренностей содержится во внутренности произведения. Затем установим обратное включение.
1] Произведение внутренностей содержится во внутренности декартова произведения
Покажем, что
$$ \text{Int}(A)\times\text{Int}(B)\subseteq\text{Int}(A\times B) $$
Пусть \(x \in \text{Int}(A)\) и \(y \in \text{Int}(B)\).
По определению внутренней точки существуют открытые множества \(U \subseteq X\) и \(V \subseteq Y\), такие что
$$ x\in U\subseteq A $$
и
$$ y\in V\subseteq B $$
Тогда множество \(U\times V\) открыто в пространстве \(X\times Y\) и содержит точку \((x,y)\).
Кроме того,
$$ U\times V\subseteq A\times B $$
Следовательно, точка \((x,y)\) имеет открытую окрестность, целиком лежащую в \(A\times B\). Значит, она принадлежит внутренности множества \(A\times B\).
Тем самым доказано, что
$$ \text{Int}(A)\times\text{Int}(B)\subseteq\text{Int}(A\times B) $$
2] Внутренность декартова произведения содержится в произведении внутренностей
Теперь докажем обратное включение:
$$ \text{Int}(A\times B)\subseteq\text{Int}(A)\times\text{Int}(B) $$
Пусть \((x,y)\in\text{Int}(A\times B)\).
Тогда существует открытое множество \(W \subseteq X\times Y\), такое что
$$ (x,y)\in W\subseteq A\times B $$
Поскольку множества вида \(U\times V\) образуют базу топологии произведения, можно выбрать открытые множества \(U \subseteq X\) и \(V \subseteq Y\), для которых
$$ (x,y)\in U\times V\subseteq W $$
Из включения
$$ U\times V\subseteq A\times B $$
следует, что
$$ U\subseteq A,\qquad V\subseteq B $$
Поэтому
$$ x\in U\subseteq A $$
и
$$ y\in V\subseteq B $$
Так как множества \(U\) и \(V\) открыты, точка \(x\) является внутренней точкой множества \(A\), а точка \(y\) является внутренней точкой множества \(B\).
Следовательно,
$$ x\in\text{Int}(A),\qquad y\in\text{Int}(B) $$
а значит,
$$ (x,y)\in\text{Int}(A)\times\text{Int}(B) $$
Таким образом,
$$ \text{Int}(A\times B)\subseteq\text{Int}(A)\times\text{Int}(B) $$
3] Заключение
Мы доказали оба включения:
$$ \text{Int}(A)\times\text{Int}(B)\subseteq\text{Int}(A\times B) $$
и
$$ \text{Int}(A\times B)\subseteq\text{Int}(A)\times\text{Int}(B) $$
Следовательно, внутренность декартова произведения множеств совпадает с декартовым произведением их внутренностей:
$$ \text{Int}(A\times B)=\text{Int}(A)\times\text{Int}(B) $$
Теорема доказана.
