Теорема о топологии подпространства в произведении топологических пространств

Пусть $A$ и $B$ являются подмножествами топологических пространств $X$ и $Y$ соответственно, $$ A \subset X $$ $$ B \subset Y $$ тогда топология на произведении $A \times B$, рассматриваемом как подпространство произведения $X \times Y$, совпадает с топологией произведения на $A \times B$, построенной с использованием топологий подпространства, индуцированных на $A$ и $B$ пространствами $X$ и $Y$. $$ \quad \tau_{A \times B}^{\text{sub}} = \tau_A^{\text{sub}} \times \tau_B^{\text{sub}} $$

Здесь $\tau_{A \times B}^{\text{sub}}$ обозначает топологию подпространства на $A \times B$, индуцированную произведением $X \times Y$,

а $\tau_A^{\text{sub}}$ и $\tau_B^{\text{sub}}$ обозначают топологии подпространства на множествах $A$ и $B$, индуцированные соответственно пространствами $X$ и $Y$.

Смысл теоремы заключается в том, что оба способа задания топологии на $A \times B$ приводят к одному и тому же результату.

Можно сначала рассмотреть $A \times B$ как подпространство произведения $X \times Y$ и взять индуцированную топологию. А можно отдельно наделить множества $A$ и $B$ их собственными индуцированными топологиями, а затем построить топологию произведения. В обоих случаях получается одна и та же топологическая структура.

Таким образом, независимо от выбранного подхода, пространство $A \times B$ будет обладать одной и той же топологией.

Практический пример

Рассмотрим простой пример, который помогает лучше понять содержание теоремы.

Пусть заданы два топологических пространства $X$ и $Y$. Для наглядности можно представить декартову плоскость, где $X$ соответствует оси $x$, а $Y$ соответствует оси $y$.

Выберем два подмножества этих пространств: множество $A \subset X$ и множество $B \subset Y$.

Например, пусть $A$ является отрезком $[1,2]$ на оси $x$, а $B$ отрезком $[3,4]$ на оси $y$.

Декартово произведение $A \times B$ состоит из всех пар $(x,y)$, где $x \in A$ и $y \in B$.

В данном случае множество $A \times B$ представляет собой прямоугольник на плоскости: координата $x$ изменяется от 1 до 2, а координата $y$ от 3 до 4.

подпространство

Теперь можно определить на $A \times B$ две различные топологии.

Топология подпространства
В этом случае множество $A \times B$ рассматривается как подпространство произведения $X \times Y$. Топология на $A \times B$ получается ограничением топологии пространства $X \times Y$ на данное подмножество.
Топология произведения
Во втором подходе сначала рассматриваются множества $A$ и $B$ с топологиями, индуцированными пространствами $X$ и $Y$. Затем на произведении $A \times B$ строится топология произведения.

Теорема утверждает, что эти две топологии совпадают.

Поэтому независимо от того, какой способ построения используется, на множестве $A \times B$ возникает одна и та же топологическая структура.

И так далее...