Лемма о склейке

Пусть \( X \) является топологическим пространством, а \( A \) и \( B \) его замкнутыми подмножествами, причём \( A \cup B = X \). Пусть также заданы непрерывные отображения \( f: A \to Y \) и \( g: B \to Y \) в топологическое пространство \( Y \), которые совпадают на пересечении \( A \cap B \), то есть \( f(x)=g(x) \) для всех \( x \in A \cap B \). Тогда отображение \( h: X \to Y \), определённое по формуле $$ h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{если } x \in A, \\ g(x) & \text{если } x \in B, \end{cases} $$ является непрерывным.

Лемма о склейке позволяет объединять несколько непрерывных отображений в одно. Это один из базовых результатов общей топологии, который часто используется при построении функций на пространствах, составленных из нескольких частей.

Основная идея очень проста. Если два непрерывных отображения определены на пересекающихся множествах и принимают одинаковые значения на общей части этих множеств, то их можно «склеить» в одно отображение без потери непрерывности.

Практический пример

Рассмотрим два отображения, определённые на соседних отрезках:

• \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \), где \( f(x)=x \);
• \( g: [1,2] \to \mathbb{R} \), где \( g(x)=2-x \).

Оба отображения непрерывны на своих областях определения. Проверим, выполняются ли условия леммы.

1. Множества замкнуты. Отрезки \( [0,1] \) и \( [1,2] \) являются замкнутыми подмножествами пространства \( \mathbb{R} \).
2. Они покрывают всё пространство. Если рассматривать пространство \( X=[0,2] \), то $$ [0,1] \cup [1,2] = [0,2]. $$
3. Отображения совпадают на пересечении. Пересечение множеств состоит из одной точки: $$ [0,1] \cap [1,2] = \{1\}. $$ Проверим значения функций:
   - \( f(1)=1 \)
   - \( g(1)=2-1=1 \)
   Следовательно, $$ f(1)=g(1). $$

Все условия леммы выполнены.

Теперь определим новое отображение \( h:[0,2]\to\mathbb{R} \):

$$ h(x)=\begin{cases} x & \text{если } x\in[0,1],\\ 2-x & \text{если } x\in[1,2]. \end{cases} $$

На первом отрезке график представляет собой возрастающую прямую, а на втором отрезке убывающую прямую.

Поскольку обе части соединяются в точке \( x=1 \) без скачка, полученное отображение остаётся непрерывным на всём интервале \( [0,2] \).

Этот пример наглядно показывает смысл леммы о склейке: непрерывные части можно объединять в одну функцию, если они корректно согласованы на общей границе.

Доказательство

Докажем, что отображение \( h \) непрерывно.

Согласно одному из критериев непрерывности, достаточно показать, что прообраз любого замкнутого множества пространства \( Y \) является замкнутым множеством в \( X \).

Пусть \( C \subseteq Y \) является замкнутым множеством.

Так как отображение \( h \) определяется через \( f \) на множестве \( A \) и через \( g \) на множестве \( B \), имеем:

$$ h^{-1}(C)=f^{-1}(C)\cup g^{-1}(C). $$

Здесь:

• \( f^{-1}(C) \) состоит из всех точек множества \( A \), образы которых принадлежат \( C \);
• \( g^{-1}(C) \) состоит из всех точек множества \( B \), образы которых принадлежат \( C \).

Поскольку отображение \( f \) непрерывно, множество \( f^{-1}(C) \) замкнуто в подпространстве \( A \).

Так как \( A \) замкнуто в \( X \), множество \( f^{-1}(C) \) также замкнуто в \( X \).

Аналогично, из непрерывности отображения \( g \) следует, что \( g^{-1}(C) \) замкнуто в \( B \). Поскольку \( B \) замкнуто в \( X \), множество \( g^{-1}(C) \) также замкнуто в \( X \).

Следовательно, оба множества \( f^{-1}(C) \) и \( g^{-1}(C) \) замкнуты в \( X \).

Но тогда и их объединение

$$ h^{-1}(C)=f^{-1}(C)\cup g^{-1}(C) $$

является замкнутым множеством, поскольку конечное объединение замкнутых множеств остаётся замкнутым.

Таким образом, прообраз любого замкнутого множества при отображении \( h \) замкнут в \( X \). Следовательно, отображение \( h \) непрерывно.

Что и требовалось доказать.