Пересечение границы и внутренности множества является пустым множеством

Пересечение границы $ \partial A $ и внутренности $ \operatorname{Int}(A) $ является пустым множеством: $$ \partial A \cap \operatorname{Int}(A) = \emptyset $$

Данное утверждение отражает фундаментальное соотношение между границей и внутренностью множества в рамках общей топологии.

Числовой пример
Доказательство

Числовой пример

Рассмотрим топологическое пространство $\mathbb{R}$, наделенное стандартной топологией, в которой открытые множества задаются открытыми интервалами.

Пусть $A = (0, 1)$ - открытый интервал между 0 и 1.

Внутренность множества $A$ состоит из всех точек, для каждой из которых существует окрестность, целиком содержащаяся в $A$. В данном случае любая точка интервала обладает этим свойством.

$$ \operatorname{Int}(A) = A = (0, 1) $$

Замыкание множества $A$ включает все его точки, а также предельные точки 0 и 1.

$$ \operatorname{Cl}(A) = [0, 1] $$

Дополнение множества $A$ в $\mathbb{R}$ имеет вид:

$$ \mathbb{R} \setminus A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Замыкание дополнения множества $A$ равно:

$$ \operatorname{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Поскольку дополнение множества $A$ уже является замкнутым, его замыкание совпадает с ним самим.

Граница множества $A$ определяется как пересечение замыкания множества и замыкания его дополнения:

$$ \partial A = \operatorname{Cl}(A) \cap \operatorname{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) $$

$$ \partial A = [0, 1] \cap \left((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\right) $$

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

Следовательно, пересечение границы и внутренности множества $A$ пусто:

$$ \partial A \cap \operatorname{Int}(A) = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$

Таким образом, граница множества $A$ ($\partial A = \{0, 1\}$) и его внутренность ($\operatorname{Int}(A) = (0, 1)$) не имеют общих точек.

Приведенный пример иллюстрирует общий факт: пересечение границы множества с его внутренностью всегда является пустым множеством.

$$ \partial A \cap \operatorname{Int}(A) = \emptyset $$

Доказательство

Данное свойство непосредственно следует из определений базовых топологических понятий.

По определению, граница множества $A$ задается равенством:

$$ \partial A = \operatorname{Cl}(A) \cap \operatorname{Cl}(X \setminus A) $$

Иными словами, граница состоит из всех точек, каждая окрестность которых пересекает как само множество $A$, так и его дополнение.

По определению, внутренность $ \operatorname{Int}(A) $ множества $A$ есть множество всех точек, для которых существует окрестность, полностью содержащаяся в $A$.

Пусть $x \in \partial A$. Тогда:

$x \in \operatorname{Cl}(A)$;
$x \in \operatorname{Cl}(X \setminus A)$.

Следовательно, любая окрестность точки $x$ пересекается и с $A$, и с $X \setminus A$.

Это означает, что не существует окрестности точки $x$, полностью содержащейся в $A$, следовательно, $x \notin \operatorname{Int}(A)$.

Теперь пусть $y \in \operatorname{Int}(A)$.

Тогда существует окрестность точки $y$, целиком содержащаяся в $A$.

Следовательно, эта окрестность не пересекается с $X \setminus A$, откуда $y \notin \operatorname{Cl}(X \setminus A)$.

Значит, $y \notin \partial A$.

Таким образом, множества $\partial A$ и $\operatorname{Int}(A)$ не имеют общих точек, то есть их пересечение пусто:

$$ \partial A \cap \operatorname{Int}(A) = \emptyset $$