Пустая граница множества и открыто-замкнутые множества
Граница \(\partial A\) множества \(A\) пуста тогда и только тогда, когда \(A\) является одновременно открытым и замкнутым (открыто-замкнутым). $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ является открыто-замкнутым} $$
Иначе говоря, множество \(A\) не имеет граничных точек. Напомним, что граничные точки это точки, которые принадлежат одновременно замыканию множества и замыканию его дополнения.
Примеры
Пример 1
Рассмотрим множество \( A = \emptyset \) в топологическом пространстве \(\mathbb{R}\) со стандартной топологией.
Проверим, пуста ли его граница.
Замыкание множества:
$$ \text{Cl}(A) = \emptyset $$
Дополнение множества:
$$ A^c = \mathbb{R} $$
Замыкание дополнения:
$$ \text{Cl}(A^c) = \mathbb{R} $$
Следовательно,
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
Граница пуста, значит, множество \(A\) является открыто-замкнутым.
Это ожидаемо: пустое множество по определению одновременно открыто и замкнуто.
Пример 2
Рассмотрим множество \( A = \mathbb{R} \) в той же топологии.
Замыкание множества:
$$ \text{Cl}(A) = \mathbb{R} $$
Дополнение:
$$ A^c = \emptyset $$
Замыкание дополнения:
$$ \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
Следовательно,
$$ \partial A = \emptyset $$
Граница снова пуста. Значит, \(A = \mathbb{R}\) также является открыто-замкнутым множеством.
Пример 3
Рассмотрим множество \(A = [0,1)\).
Замыкание множества:
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$
Дополнение:
$$ A^c = (-\infty, 0) \cup [1, \infty) $$
Замыкание дополнения:
$$ \text{Cl}(A^c) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Следовательно,
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
Граница не пуста. Значит, множество \(A\) не является открыто-замкнутым.
Эти примеры показывают простую идею: отсутствие границы означает, что множество не "соприкасается" со своим дополнением.
Доказательство
По определению граница множества равна
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$
Докажем эквивалентность в обе стороны.
1] Если граница пуста, то множество открыто и замкнуто
Пусть
$$ \partial A = \emptyset $$
Тогда
$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
Это означает, что ни одна точка не принадлежит одновременно замыканию множества и замыканию его дополнения.
Замкнутость
Из условия следует, что \(\text{Cl}(A)\) не содержит точек из \(\text{Cl}(A^c)\). Значит,
$$ \text{Cl}(A) \subseteq A $$
Так как всегда \(A \subseteq \text{Cl}(A)\), получаем
$$ \text{Cl}(A) = A $$
Следовательно, \(A\) замкнуто.
Открытость
Аналогично, из того же условия следует
$$ \text{Cl}(A^c) \subseteq A^c $$
Значит, \(A^c\) замкнуто, а потому \(A\) открыто.
Итог
Множество \(A\) одновременно открыто и замкнуто, то есть является открыто-замкнутым.
2] Если множество открыто и замкнуто, то граница пуста
Пусть \(A\) открыто-замкнуто.
Тогда
$$ A = \text{Cl}(A) \quad \text{и} \quad A^c = \text{Cl}(A^c) $$
Подставляя в определение границы, получаем
$$ \partial A = A \cap A^c $$
Но пересечение множества с его дополнением всегда пусто:
$$ \partial A = \emptyset $$
3] Вывод
Таким образом,
$$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ является открыто-замкнутым} $$
Это даёт простой критерий: чтобы понять, является ли множество открыто-замкнутым, достаточно проверить, есть ли у него граница.
