Теорема о сохранении замыкания при непрерывном отображении

Пусть $ f : X \to Y $ является непрерывным отображением и $ A \subset X $. Если точка $ x \in X $ принадлежит замыканию множества $ A $, то есть $ x \in Cl(A) $, то её образ $ f(x) $ принадлежит замыканию образа множества $ A $, то есть $ f(x) \in Cl(f(A)) $.

Эта теорема описывает одно из важных свойств непрерывных отображений. Она показывает, что непрерывность сохраняет близость точек к множеству в топологическом смысле.

Если точка $ x $ принадлежит замыканию множества $ A $, то есть её можно приблизить точками из $ A $, то после применения непрерывного отображения образ $ f(x) $ также можно приблизить точками из множества $ f(A) $.

Практический пример
Доказательство

Практический пример

Рассмотрим непрерывную функцию $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, заданную формулой $ f(x)=x^2 $, и множество $ A=(0,2) \subseteq \mathbb{R} $.

$$ A = (0,2) $$

Замыкание множества $ A $ получается добавлением его граничных точек:

$$ Cl(A) = [0,2] $$

Точки $ 0 $ и $ 2 $ не принадлежат интервалу $ A $, однако являются его предельными точками.

Рассмотрим образ множества $ A $ при отображении $ f(x)=x^2 $:

$$ f(A) = (0,4) $$

Поскольку значения функции на интервале $ (0,2) $ принимают все значения между $ 0 $ и $ 4 $, но не достигают концов интервала, получаем открытый интервал $ (0,4) $.

Замыкание этого множества имеет вид:

$$ Cl(f(A)) = [0,4] $$

Теперь проверим утверждение теоремы.

Точка $ 0 $ принадлежит $ Cl(A) $, а её образ $ f(0)=0 $ принадлежит $ Cl(f(A)) $.
Точка $ 2 $ принадлежит $ Cl(A) $, а её образ $ f(2)=4 $ принадлежит $ Cl(f(A)) $.
Для любой точки $ x $, удовлетворяющей условию \( 0

Во всех случаях образ точки из замыкания множества $ A $ оказывается в замыкании множества $ f(A) $, что полностью согласуется с утверждением теоремы.

Доказательство

Пусть $ f : X \to Y $ является непрерывным отображением, где $ x\in X $ и $ A\subset X $.

Докажем теорему методом от противного. Предположим, что образ точки $ x $ не принадлежит замыканию множества $ f(A) $:

$$ f(x) \notin Cl(f(A)) $$

По определению замыкания это означает, что существует открытая окрестность $ B \subseteq Y $, содержащая точку $ f(x) $, которая не пересекается с множеством $ f(A) $:

$$ B \cap f(A) = \emptyset $$

Поскольку отображение $ f $ непрерывно, прообраз открытого множества $ B $ также является открытым. Следовательно, множество

$$ f^{-1}(B) $$

представляет собой открытую окрестность точки $ x $ в пространстве $ X $.

Кроме того, из условия $ B \cap f(A)=\emptyset $ следует, что

$$ f^{-1}(B)\cap A=\emptyset $$

Иными словами, существует открытая окрестность точки $ x $, не содержащая ни одной точки множества $ A $.

Но тогда по определению замыкания точка $ x $ не может принадлежать $ Cl(A) $:

$$ x \notin Cl(A) $$

Мы получили утверждение:

$$ f(x)\notin Cl(f(A)) \Longrightarrow x\notin Cl(A) $$

Это контрапозиция исходного утверждения теоремы. Следовательно, справедливо и само утверждение:

$$ x\in Cl(A) \Longrightarrow f(x)\in Cl(f(A)) $$

Примечание: Основная идея доказательства очень проста. Если образ точки можно отделить от множества $ f(A) $ открытой окрестностью, то благодаря непрерывности такую же отделяющую окрестность можно построить и для самой точки $ x $. Поэтому точка, принадлежащая замыканию множества $ A $, не может перейти в точку, не принадлежащую замыканию множества $ f(A) $.

И так далее.