Теорема о сохранении сходимости последовательностей при непрерывном отображении

Пусть $ f: X \to Y $ является непрерывным отображением. Если последовательность точек $ x_1, x_2, \dots $ в пространстве $ X $ сходится к точке $ x $, то последовательность их образов $ f(x_1), f(x_2), \dots $ сходится к точке $ f(x) $ в пространстве $ Y $.

Иными словами, непрерывное отображение сохраняет сходимость последовательностей. Если точки последовательности стремятся к некоторому пределу, то после применения непрерывного отображения их образы будут стремиться к образу этого предела.

Практический пример
Доказательство
Заключение

Практический пример

Рассмотрим отображение $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $, заданное формулой $ f(x)=2x $, и последовательность $ x_n=\frac{1}{n} $, где $ n\in\mathbb{N} $.

Известно, что последовательность $ (x_n) $ сходится к нулю при $ n\to\infty $.

Ее первые члены имеют вид:

\[ x_1=1,\qquad x_2=\frac12,\qquad x_3=\frac13,\qquad \dots \]

По мере увеличения $ n $ значения $ x_n $ становятся все меньше и стремятся к нулю.

Теперь применим отображение $ f $ к каждому члену последовательности:

$$ f(x_1)=f(1)=2 $$

$$ f(x_2)=f\left(\frac12\right)=1 $$

$$ f(x_3)=f\left(\frac13\right)=\frac23 $$

$$ \dots $$

Полученная последовательность имеет вид

\[ 2,\;1,\;\frac23,\;\dots \]

или, что то же самое, $ f(x_n)=2x_n $.

Она также сходится к нулю. Следовательно,

\[ f(x_n)\longrightarrow f(0)=0. \]

Этот пример наглядно показывает, что непрерывное отображение действительно сохраняет сходимость последовательности.

Доказательство

Докажем, что из сходимости $ x_n\to x $ следует сходимость $ f(x_n)\to f(x) $, если отображение $ f $ непрерывно.

По определению непрерывности прообраз любого открытого множества пространства $ Y $ является открытым множеством пространства $ X $.

Используем это свойство, чтобы показать: для любой окрестности точки $ f(x) $ все элементы последовательности $ f(x_n) $, начиная с некоторого номера, принадлежат этой окрестности.

Шаг 1. Выберем произвольную окрестность точки $ f(x) $

Пусть $ U $ является произвольной окрестностью точки $ f(x) $ в пространстве $ Y $.

Поскольку окрестность открыта и содержит точку $ f(x) $, достаточно показать, что начиная с некоторого номера все значения $ f(x_n) $ лежат в $ U $.

Шаг 2. Рассмотрим прообраз множества $ U $

Так как отображение $ f $ непрерывно, множество

\[ f^{-1}(U) \]

является открытым в пространстве $ X $.

Кроме того, из условия $ f(x)\in U $ непосредственно следует, что

\[ x\in f^{-1}(U). \]

Следовательно, $ f^{-1}(U) $ представляет собой открытую окрестность точки $ x $.

Шаг 3. Используем сходимость последовательности

Поскольку $ x_n\to x $, по определению сходимости существует натуральное число $ N $, такое что при всех $ n\ge N $

\[ x_n\in f^{-1}(U). \]

Шаг 4. Переходим к образам точек

Из принадлежности $ x_n\in f^{-1}(U) $ сразу следует, что

\[ f(x_n)\in U. \]

Следовательно, начиная с номера $ N $, все элементы последовательности $ f(x_n) $ принадлежат произвольной окрестности точки $ f(x) $.

Заключение

Мы показали, что для любой окрестности точки $ f(x) $ существует номер $ N $, начиная с которого все элементы последовательности $ f(x_n) $ лежат в этой окрестности.

По определению это означает, что

\[ f(x_n)\longrightarrow f(x). \]

Таким образом, доказано, что непрерывное отображение сохраняет сходимость последовательностей: если последовательность $ (x_n) $ сходится к точке $ x $, то последовательность ее образов $ (f(x_n)) $ сходится к точке $ f(x) $.