Непрерывность отображения включения в топологии

Пусть \( X \) является топологическим пространством, а \( Y \subseteq X \) его подпространством. Отображение включения \( f : Y \to X \) определяется правилом \( f(y)=y \) для каждого \( y \in Y \). Несмотря на свою простоту, это отображение играет важную роль в топологии и всегда является непрерывным.

Интуитивно отображение включения просто рассматривает элементы подпространства \( Y \) как элементы более крупного пространства \( X \).

Иными словами, ни один элемент не изменяется. Каждая точка множества \( Y \) переходит в ту же самую точку пространства \( X \).

Примечание: Отображение включения не следует путать с тождественным отображением. В обоих случаях элементы остаются неизменными, однако тождественное отображение действует внутри одного и того же пространства, тогда как отображение включения связывает подпространство с объемлющим пространством.

Почему отображение включения непрерывно?

Чтобы показать непрерывность отображения включения, достаточно воспользоваться определением непрерывности в топологии.

Отображение считается непрерывным, если прообраз любого открытого множества пространства \( X \) является открытым множеством в пространстве \( Y \).

Пусть \( U \) является открытым множеством в \( X \). Тогда его прообраз относительно отображения включения имеет вид

$$ f^{-1}(U)=U \cap Y $$

Это происходит потому, что отображение включения не изменяет точки, а лишь рассматривает их как элементы более широкого пространства.

Согласно определению топологии подпространства, открытыми множествами в \( Y \) являются именно пересечения открытых множеств пространства \( X \) с множеством \( Y \).

Следовательно, если множество \( U \) открыто в \( X \), то множество \( U \cap Y \) обязательно открыто в \( Y \).

Отсюда сразу следует, что отображение включения является непрерывным.

Примечание: Этот факт хорошо показывает назначение топологии подпространства. Она определяется таким образом, чтобы естественное включение подпространства в исходное пространство всегда оставалось непрерывным.

Пример

Рассмотрим пространство \( X=\mathbb{R} \), то есть множество всех действительных чисел, и его подпространство \( Y=(0,1) \), представляющее собой открытый интервал между 0 и 1.

В этом случае отображение включения задаётся формулой

$$ f(y)=y \qquad \text{для всех } y \in (0,1) $$

Фактически это означает, что каждое число из интервала \( (0,1) \) рассматривается как точка всей числовой прямой \( \mathbb{R} \).

Возьмём открытое множество

$$ U=(-1,0.5) \subset \mathbb{R} $$

Пересечение этого множества с подпространством \( Y=(0,1) \) равно

$$ U \cap Y = (-1,0.5)\cap(0,1)=(0,0.5) $$

Полученное множество представляет собой открытый интервал внутри \( Y \).

Следовательно, множество \( (0,0.5) \) открыто в топологии подпространства на \( Y \).

Тот же аргумент работает для любого открытого множества \( U \subseteq X \). Поэтому прообраз любого открытого множества пространства \( X \) остаётся открытым в \( Y \).

Таким образом, отображение включения \( f:Y \to X \) является непрерывным.

Именно поэтому непрерывность отображения включения считается одним из базовых и наиболее естественных свойств топологии подпространств.