Непрерывность в фактор-топологии

В фактор-топологии сюръективное отображение \( f: X \to A \) является непрерывным по определению. Множество \( V \subseteq A \) считается открытым тогда и только тогда, когда его прообраз \( f^{-1}(V) \) открыт в пространстве \( X \).

Одним из главных достоинств фактор-топологии является то, что она автоматически обеспечивает непрерывность отображения, с помощью которого строится фактор-пространство.

Пусть дано топологическое пространство \( X \) и сюръективное отображение \( f: X \to A \), где \( A \) является произвольным множеством и не обязательно входит в состав \( X \).

Фактор-топология на множестве \( A \) определяется так, чтобы отображение \( f \) было непрерывным.

Для этого множество \( V \subseteq A \) объявляется открытым тогда и только тогда, когда его прообраз \( f^{-1}(V) \) открыт в пространстве \( X \).

Поскольку это условие заложено в само определение фактор-топологии, непрерывность отображения \( f \) получается автоматически.

Замечание. Фактор-топология определяется через прообразы открытых множеств. Именно поэтому отображение \( f \) оказывается непрерывным без каких-либо дополнительных условий.

Практический пример

Рассмотрим пространство \( X = \{a, b, c\} \), состоящее из трёх точек.

Определим сюръективное отображение \( f: X \to A \), где \( A = \{1, 2\} \), следующим образом:

• \( f(a) = f(b) = 1 \)
• \( f(c) = 2 \).

Таким образом, точки \( a \) и \( b \) отождествляются и соответствуют одному элементу \( 1 \) множества \( A \).

Согласно определению фактор-топологии, множество \( V \subseteq A \) является открытым тогда и только тогда, когда его прообраз \( f^{-1}(V) \) открыт в пространстве \( X \).

Например, рассмотрим множество \( V = \{1\} \subseteq A \). Его прообраз равен \( f^{-1}(\{1\}) = \{a,b\} \). Если множество \( \{a,b\} \) открыто в \( X \), то множество \( \{1\} \) будет открытым и в \( A \).

Предположим, что множества \( \{a,b\} \) и \( \{c\} \) открыты в \( X \). Тогда в \( A \) открыты следующие множества:

• \( \emptyset \)
• \( \{1\} \)
• \( \{2\} \)
• \( \{1,2\} \)

Проверим их прообразы:

• \( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \). Пустое множество открыто в любой топологии.
• \( f^{-1}(\{1,2\}) = \{a,b,c\} = X \). Всё пространство \( X \) всегда является открытым.
• \( f^{-1}(\{1\}) = \{a,b\} \). По предположению это множество открыто в \( X \).
• \( f^{-1}(\{2\}) = \{c\} \). Это множество также открыто в \( X \).

Мы видим, что прообраз каждого открытого множества из \( A \) является открытым множеством в \( X \).

Именно поэтому отображение \( f \) непрерывно.

Следовательно, непрерывность отображения \( f \) является прямым следствием определения фактор-топологии.

Этот пример наглядно показывает основную идею фактор-топологии: открытые множества в фактор-пространстве выбираются таким образом, чтобы отображение факторизации автоматически оставалось непрерывным.