Определение непрерывности через замкнутые множества

Пусть $ X $ и $ Y $ являются топологическими пространствами. Отображение $ f: X \to Y $ непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого замкнутого множества $ C \subseteq Y $ является замкнутым множеством в $ X $.

В топологии непрерывность обычно определяют через открытые множества. Однако существует полностью эквивалентный критерий, основанный на замкнутых множествах. Во многих случаях именно такая формулировка оказывается более удобной и наглядной.

Согласно стандартному определению, отображение $ f: X \to Y $ непрерывно, если прообраз любого открытого множества в $ Y $ является открытым множеством в $ X $.

Рассматриваемая теорема утверждает, что это условие можно заменить эквивалентным: отображение $ f: X \to Y $ непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого замкнутого множества $ C \subseteq Y $ является замкнутым множеством в $ X $.

Примечание: этот результат отражает тесную связь между открытыми и замкнутыми множествами. В топологии каждое замкнутое множество является дополнением некоторого открытого множества, а каждое открытое множество является дополнением некоторого замкнутого множества. Именно поэтому непрерывность можно описывать как через открытые, так и через замкнутые множества.

Практический пример
Доказательство
Заключение

Практический пример

Рассмотрим функцию $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $, заданную формулой

$$ f(x)=x^2 $$

На множестве действительных чисел будем рассматривать стандартную топологию, в которой открытыми множествами являются открытые интервалы и их объединения.

Проверим, выполняется ли критерий непрерывности через замкнутые множества.

Возьмём замкнутое множество

$$ C=[1,+\infty) $$

Это множество замкнуто в $ Y $, поскольку его дополнение $ (-\infty,1) $ является открытым.

Найдём его прообраз:

$$ f^{-1}(C)=\{x\in\mathbb{R}:x^2\in[1,+\infty)\}=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty) $$

Полученное множество является замкнутым в $ \mathbb{R} $. Действительно, оба луча $ (-\infty,-1] $ и $ [1,+\infty) $ замкнуты, а объединение конечного числа замкнутых множеств также остаётся замкнутым.

Следовательно, прообраз множества $ C $ оказался замкнутым. Аналогичное рассуждение можно провести для любого другого замкнутого множества в $ Y $. Поэтому функция $ f(x)=x^2 $ является непрерывной.

Доказательство

Докажем теорему в обоих направлениях.

Если отображение непрерывно, то прообраз любого замкнутого множества замкнут

Предположим, что отображение $ f $ непрерывно. Тогда по определению прообраз любого открытого множества в $ Y $ является открытым множеством в $ X $.

Пусть $ C \subseteq Y $ является замкнутым множеством. Тогда его дополнение

$$ Y\setminus C $$

открыто в $ Y $.

Из непрерывности отображения следует, что множество

$$ f^{-1}(Y\setminus C) $$

открыто в $ X $.

Используя свойство прообраза дополнения, получаем:

$$ f^{-1}(Y\setminus C)=X\setminus f^{-1}(C) $$

Следовательно, дополнение множества $ f^{-1}(C) $ открыто в $ X $, а значит, само множество $ f^{-1}(C) $ замкнуто.

Таким образом, прообраз любого замкнутого множества является замкнутым.

Если прообраз любого замкнутого множества замкнут, то отображение непрерывно

Теперь предположим, что прообраз любого замкнутого множества в $ Y $ замкнут в $ X $.

Рассмотрим произвольное открытое множество $ U \subseteq Y $. Требуется показать, что его прообраз открыт в $ X $.

Поскольку $ U $ открыто, множество

$$ Y\setminus U $$

является замкнутым в $ Y $.

По предположению его прообраз

$$ f^{-1}(Y\setminus U) $$

замкнут в $ X $.

Снова воспользуемся свойством прообраза дополнения:

$$ f^{-1}(Y\setminus U)=X\setminus f^{-1}(U) $$

Отсюда следует, что дополнение множества $ f^{-1}(U) $ замкнуто. Следовательно, само множество $ f^{-1}(U) $ открыто.

Мы получили стандартное определение непрерывности. Значит, отображение $ f $ непрерывно.

Заключение

Мы доказали оба направления теоремы. Следовательно, для отображения $ f:X\to Y $ следующие условия эквивалентны:

отображение $ f $ непрерывно;
прообраз любого открытого множества в $ Y $ открыт в $ X $;
прообраз любого замкнутого множества в $ Y $ замкнут в $ X $.

Поэтому непрерывность можно определять как через открытые множества, так и через замкнутые. Оба подхода полностью эквивалентны и широко используются в общей топологии.