Теорема о композиции непрерывных функций

Если функции $ f: X \to Y $ и $ g: Y \to Z $ непрерывны, то их композиция $ g \circ f: X \to Z $ также непрерывна.

Теорема о композиции непрерывных функций является одним из фундаментальных результатов математического анализа и общей топологии. Она утверждает, что последовательное применение двух непрерывных функций всегда приводит к новой непрерывной функции.

Пусть заданы две функции:

$ f: X \to Y $
$ g: Y \to Z $

Если обе функции непрерывны, то их композиция $ g \circ f $, то есть функция, полученная последовательным применением сначала $ f $, а затем $ g $, также будет непрерывной.

Проще говоря, если соединить две непрерывные функции, то полученная функция не потеряет свойство непрерывности.

Практический пример
Доказательство

Практический пример

Рассмотрим композицию функций $ g \circ f(x) $, где $ f $ является внутренней функцией, а $ g $ внешней.

$$ f(x) = x^2 \quad \text{на множестве} \quad \mathbb{R} $$

$$ g(y) = \frac{y}{2} \quad \text{на множестве} \quad \mathbb{R} $$

Обе функции непрерывны на множестве $ \mathbb{R} $.

Проверим, будет ли композиция $ g \circ f(x) $ непрерывной на всей числовой прямой.

Для наглядности рассмотрим открытый интервал $ (-2,2) \subset \mathbb{R} $.

Функция $ f $ отображает этот интервал в интервал $ (0,4) $.

Полученные значения затем становятся аргументами функции $ g $.

Функция $ g $ отображает интервал $ (0,4) $ в открытый интервал $ (0,2) $.

Таким образом, композиция

$$ g \circ f(x)=\frac{x^2}{2} $$

также переводит открытые множества в соответствии с определением непрерывности.

Аналогичные рассуждения справедливы для любого открытого множества на $ \mathbb{R} $. Именно поэтому композиция двух непрерывных функций всегда остается непрерывной.

Доказательство

Докажем это строго с помощью определения непрерывности через прообразы открытых множеств.

$ f: X \to Y $
$ g: Y \to Z $

Пусть $ U $ является открытым множеством в пространстве $ Z $.

Поскольку функция $ g $ непрерывна, ее прообраз $ g^{-1}(U) $ является открытым множеством в $ Y $.

Так как функция $ f $ также непрерывна, прообраз множества $ g^{-1}(U) $ при отображении $ f $ открыт в $ X $.

При этом выполняется равенство

$$ (g \circ f)^{-1}(U)=f^{-1}\!\left(g^{-1}(U)\right). $$

Следовательно, прообраз любого открытого множества при композиции $ g \circ f $ является открытым.

Это и означает, что композиция $ g \circ f $ непрерывна.

Таким образом, теорема полностью доказана.