Замкнутость границы множества

Граница множества является замкнутым множеством, поскольку она задаётся как пересечение замыкания множества $A$ и замыкания его дополнения: $$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X \setminus A) $$

Граница множества $A$ в топологическом пространстве $X$, обозначаемая $\partial A$, определяется как пересечение замыкания множества $A$ и замыкания его дополнения.

Это определение сразу даёт важный результат: граница любого множества всегда замкнута. Причина проста. Пересечение замкнутых множеств остаётся замкнутым, а значит и $\partial A$ обладает тем же свойством.

Пример
Доказательство

Пример

Рассмотрим стандартное топологическое пространство $\mathbb{R}$, в котором открытые множества задаются открытыми интервалами.

Возьмём множество $A = (0, 1)$, то есть открытый интервал между 0 и 1.

Его замыкание $Cl(A)$ представляет собой отрезок $[0, 1]$. К исходному множеству добавляются предельные точки 0 и 1.

Дополнение множества $A$ в $\mathbb{R}$ имеет вид:

$$ \mathbb{R} \setminus A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Это множество уже замкнуто, поэтому его замыкание совпадает с ним самим:

$$ Cl(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Теперь найдём границу множества $A$:

$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(\mathbb{R} \setminus A) $$

$$ \partial A = [0, 1] \cap \big((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\big) = \{0, 1\} $$

Мы получаем, что граница состоит из двух точек, 0 и 1. Это замкнутое множество в $\mathbb{R}$.

Доказательство

Докажем общее утверждение.

Пусть $X$ это топологическое пространство, а $A \subseteq X$.

Замыкание множества $A$, обозначаемое $Cl(A)$ или $\overline{A}$, всегда является замкнутым множеством. По определению это наименьшее замкнутое множество, содержащее $A$.

Дополнение множества $A$ равно $X \setminus A$. Если множество замкнуто, его дополнение открыто, и наоборот.

Граница множества $A$ определяется формулой:

$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X \setminus A) $$

Оба множества, $Cl(A)$ и $Cl(X \setminus A)$, замкнуты.

Пересечение замкнутых множеств остаётся замкнутым. Это одно из базовых свойств топологии.

Следовательно, $\partial A$ всегда является замкнутым множеством.

И так далее.