Граница множества равна пересечению замыкания множества и замыкания его дополнения

Пусть $ A \subseteq X $, где $ X $ - топологическое пространство. Граница множества $ A $, обозначаемая $ \partial A $, определяется как множество точек, принадлежащих одновременно замыканию $ A $ и замыканию его дополнения. $$ \partial A = \operatorname{Cl}(A) \cap \operatorname{Cl}(X \setminus A) $$

Проще говоря, граница множества состоит из тех точек, которые нельзя однозначно отнести ни к самому множеству, ни к его дополнению.

Эти точки находятся на «разделе» между $ A $ и $ X \setminus A $. Именно поэтому они одновременно принадлежат замыканию множества и замыканию его дополнения.

Пример
Доказательство

Пример

Рассмотрим множество $ A $, равное открытому интервалу $ (0, 1) $ на вещественной прямой $\mathbb{R}$.

Его замыкание включает все точки между 0 и 1 вместе с концами интервала:

$$ \operatorname{Cl}(A) = [0, 1] $$

Дополнение множества $ A $ состоит из двух лучей:

$$ \mathbb{R} \setminus A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Это множество уже замкнуто, поэтому его замыкание совпадает с ним:

$$ \operatorname{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Теперь найдём пересечение:

$$ \partial A = [0, 1] \cap \bigl((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\bigr) $$

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

Граница интервала $ (0, 1) $ состоит из точек 0 и 1. Это именно те точки, где интервал «соприкасается» со своим дополнением.

Доказательство

По определению, точка принадлежит границе множества, если любая её окрестность содержит точки как из $ A $, так и из $ X \setminus A $:

$$ \partial A = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x),\ U \cap A \neq \emptyset \ \text{и}\ U \cap (X \setminus A) \neq \emptyset \} $$

Здесь $\mathcal{N}(x)$ обозначает все окрестности точки $x$.

Напомним ключевые определения:

Замыкание множества $A$, $\operatorname{Cl}(A)$, состоит из всех точек, для которых каждая окрестность пересекается с $A$.
Замыкание дополнения $A$, $\operatorname{Cl}(X \setminus A)$, состоит из всех точек, для которых каждая окрестность пересекается с $X \setminus A$.

Докажем равенство в две стороны.

1] Если $ x \in \partial A $, то $ x \in \operatorname{Cl}(A) \cap \operatorname{Cl}(X \setminus A) $

Любая окрестность точки $x$ пересекается и с $A$, и с его дополнением. Значит, $x$ принадлежит обоим замыканиям.

2] Если $ x \in \operatorname{Cl}(A) \cap \operatorname{Cl}(X \setminus A) $, то $ x \in \partial A $

Любая окрестность точки $x$ пересекается и с $A$, и с $X \setminus A$. Следовательно, $x$ лежит на границе.

Вывод

Мы получили оба включения, а значит, равенство:

$$ \partial A = \operatorname{Cl}(A) \cap \operatorname{Cl}(X \setminus A) $$

Это и требовалось доказать.