集合の閉包は、その集合と集積点全体の和集合である

位相空間 \( X \) における部分集合 \( A \) の閉包 \(\text{Cl}(A)\) は、集合 \( A \) とその集積点全体の集合 \( A' \) の和集合である。 $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$

閉包という概念は、位相空間において「どの点を集合に含めるべきか」を記述する基本的な道具である。直感的には、集合 \( A \) に限りなく近づける点をすべて集めたものが閉包である。

ここで重要なのは、集積点 が必ずしも \( A \) の元であるとは限らないという点である。つまり、集合の外側に見える点であっても、位相的には \( A \) と切り離せない場合がある。

この定理から、閉集合の判定条件が直ちに得られる。 $$ A \text{ が閉集合 } \ \Leftrightarrow \ A = \text{Cl}(A) $$ すなわち、集合が自分自身の集積点をすべて含むとき、かつそのときに限り閉集合である。

具体例

標準位相を備えた実数空間 \(\mathbb{R}\) で、まず開区間 \( A = (0,1) \) を考える。

$$ A = (0,1) $$

この集合は 0 と 1 を含まないが、集積点を調べると状況が変わる。

• 任意の \( x \in (0,1) \) は集積点である。どんなに小さな近傍をとっても、\( A \) の他の点が存在する。
• 端点 0 と 1 も集積点である。これらの近傍は必ず区間内の点と交わる。

したがって、

$$ A' = [0,1] $$

となり、閉包は

$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$

である。閉包は元の集合と一致しないので、\( A \) は閉集合ではない。

$$ A \ne \text{Cl}(A) $$

例2

次に、閉区間 \( B = [0,1] \) を考える。

$$ B = [0,1] $$

この場合、すべての点が集積点になる。

• \( (0,1) \) の内部の点は明らかに集積点である。
• 端点 0 と 1 も、任意の近傍が \( B \) と交わるため集積点である。

よって

$$ B' = [0,1] $$

となり、

$$ \text{Cl}(B) = [0,1] $$

が成り立つ。閉包と一致するため、\( B \) は閉集合である。

証明

位相空間 \( X \) において

$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$

を示す。

まず定義を確認する。

• 閉包 \(\text{Cl}(A)\)：\( A \) を含むすべての閉集合の共通部分。
• 集積点：任意の近傍が、その点自身とは異なる \( A \) の点を含む点。

1] \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)

$$ A \subseteq \text{Cl}(A) $$

\( x \in A' \) を取る。\( x \) の任意の近傍は \( A \) と交わる。

もし \( x \notin \text{Cl}(A) \) なら、ある近傍 \( U \) が存在して \( U \cap A = \emptyset \) となる。

これは集積点の定義に矛盾する。従って \( x \in \text{Cl}(A) \)。

$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$

2] \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)

任意の \( x \in \text{Cl}(A) \) を取る。

\( x \notin A \) と仮定する。閉包の定義より、任意の近傍は \( A \) と交わる。

従って \( x \) は集積点であり、\( x \in A' \)。

\[ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \]

3] 結論

両包含より

\[ \text{Cl}(A) = A \cup A' \]

が従う。