Menentukan Interior Suatu Himpunan di ℝ

Untuk memahami konsep interior suatu himpunan dalam topologi, kita dapat memulainya dengan contoh sederhana menggunakan bahasa pemrograman R. Pendekatan ini membantu memvisualisasikan ide abstrak secara lebih konkret.

Sebagai langkah awal, kita definisikan dua himpunan terbuka, yaitu A dan B.

A <- c(1, 3)
B <- c(0, 4)

Kedua himpunan tersebut merupakan interval terbuka pada garis bilangan real.

Himpunan A merepresentasikan interval terbuka (1,3).

> cat("Interval A:", A, "\n")

Interval A: 1 3

Dengan cara yang sama, himpunan B merepresentasikan interval terbuka (0,4).

> cat("Interval B:", B, "\n")

Interval B: 0 4 

Langkah berikutnya adalah mendefinisikan sebuah fungsi yang digunakan untuk menghitung interior dari suatu himpunan.

Dalam topologi, interior suatu himpunan didefinisikan sebagai gabungan dari semua himpunan terbuka yang seluruhnya berada di dalam himpunan tersebut.

internal <- function(interval) {
c(interval[1] + 0.00001, interval[2] - 0.00001)
}

Dengan fungsi ini, kita dapat menentukan interior dari masing-masing himpunan.

Int_A <- internal(A)

Int_B <- internal(B)

Hasil perhitungannya dapat ditampilkan sebagai berikut.

Interior dari himpunan A (1,3) merupakan gabungan semua himpunan terbuka yang berada di dalam A, sehingga diperoleh int(A) = (1,3).

> cat("Interior of A:", Int_A, "\n")

Interior of A: 1.00001 2.99999

Interior dari himpunan B (0,4) merupakan gabungan semua himpunan terbuka yang berada di dalam B, sehingga diperoleh int(B) = (0,4).

> cat("Interior of B:", Int_B, "\n")

Interior of B: 1e-05 3.99999

Sesuai dengan sifat dasar interior suatu himpunan, apabila himpunan A merupakan subset dari B, maka interior dari A juga merupakan subset dari interior B.

$$ A \subseteq B \Longrightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Hubungan ini juga dapat diverifikasi secara langsung menggunakan R.

cat("Int(A) is contained in Int(B):", all(Int_A >= Int_B[1] & Int_A <= Int_B[2]), "\n")

Int(A) is contained in Int(B): TRUE

Hasil ini menegaskan bahwa interior dari himpunan \( A \) sepenuhnya berada di dalam interior dari himpunan \( B \), sesuai dengan teori dasar topologi.

Dan seterusnya.