Sifat Inklusi Interior Himpunan dalam Ruang Topologi

Dalam topologi, berlaku sifat dasar berikut. Jika suatu himpunan $ A $ merupakan subhimpunan dari himpunan $ B $, maka interior dari $ A $ juga merupakan subhimpunan dari interior $ B $. $$ A \subseteq B \Rightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Sifat ini muncul secara alami dari definisi interior dan memainkan peran penting dalam memahami struktur ruang topologi.

Secara intuitif, jika seluruh elemen $ A $ berada di dalam $ B $, maka bagian terdalam atau bagian yang sepenuhnya terbuka dari $ A $ tidak mungkin keluar dari bagian terbuka $ B $.

Contoh Konkret
Bukti

Contoh Konkret

Sebagai ilustrasi, pertimbangkan dua himpunan $ A $ dan $ B $ di ruang bilangan real $ \mathbb{R} $ dengan topologi standar.

$$ A = [1, 3] $$

$$ B = [0, 4] $$

Dari definisinya, jelas bahwa setiap elemen $ A $ juga merupakan elemen $ B $, sehingga:

$$ A \subseteq B $$

Dalam topologi standar pada $ \mathbb{R} $, interior suatu himpunan didefinisikan sebagai gabungan semua himpunan terbuka yang sepenuhnya terkandung di dalam himpunan tersebut.

Interior A
Himpunan $ A = [1, 3] $ memuat interval terbuka $ (1, 3) $. Oleh karena itu: \[
\text{Int}(A) = (1, 3)
\]
Interior B
Himpunan $ B = [0, 4] $ memuat interval terbuka $ (0, 4) $. Oleh karena itu: \[
\text{Int}(B) = (0, 4)
\]

Terlihat bahwa interval terbuka $ (1, 3) $ sepenuhnya berada di dalam interval $ (0, 4) $.

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Contoh ini memperlihatkan secara jelas bagaimana relasi inklusi antarhimpunan tetap terjaga ketika kita beralih ke interiornya.

Bukti

Secara umum, misalkan $ A $ dan $ B $ adalah dua himpunan dalam suatu ruang topologi $ X $, dengan $ A \subseteq B $.

Kita akan menunjukkan bahwa interior $ A $ selalu merupakan subhimpunan dari interior $ B $.

Menurut definisi, interior suatu himpunan $ A $, yang dinotasikan dengan $ \text{Int}(A) $, adalah gabungan dari seluruh himpunan terbuka yang terkandung di dalam $ A $.

Dengan kata lain, $ \text{Int}(A) $ merupakan himpunan terbuka terbesar yang sepenuhnya berada di dalam $ A $.

Karena $ A \subseteq B $, setiap himpunan terbuka yang berada di dalam $ A $ juga otomatis berada di dalam $ B $.

Akibatnya, semua himpunan terbuka yang membentuk $ \text{Int}(A) $ juga merupakan himpunan terbuka yang terkandung di dalam $ B $.

Hal ini berarti bahwa $ \text{Int}(A) $ adalah suatu himpunan terbuka yang terkandung di dalam $ B $.

Sementara itu, $ \text{Int}(B) $ didefinisikan sebagai himpunan terbuka terbesar yang terkandung di dalam $ B $.

Karena $ \text{Int}(A) $ adalah himpunan terbuka yang berada di dalam $ B $, maka secara langsung diperoleh bahwa:

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Dengan demikian, terbukti bahwa pengambilan interior tidak mengubah relasi inklusi antarhimpunan, melainkan mempertahankannya.

Sifat ini merupakan salah satu karakteristik mendasar dari operator interior dalam topologi.

Dan seterusnya.