集合的闭包等于该集合与其极限点的并集

在拓扑空间 \( X \) 中，集合 \( A \) 的闭包记为 \(\text{Cl}(A)\)。 它可以写成一个非常直观的形式：集合本身与其极限点的并集。 $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$

这个结论揭示了“闭包”这一概念的核心含义。 从拓扑角度看，闭包不仅包含 \( A \) 中已有的点，还包括所有可以被 \( A \) 中点任意逼近的位置。

需要特别说明的是，极限点（或称聚点）并不一定属于集合 \( A \)。 闭包正是把这些“边界上的点”一并纳入考虑。

由该定理可立即得到闭集的判别准则： 集合 \( A \) 是闭集，当且仅当它包含全部极限点。 $$ A \text{ 是闭集 } \Leftrightarrow A = \text{Cl}(A) $$ 也就是说，闭集与自身的闭包完全一致。

例子：开区间 \( (0,1) \)

在实数空间 \(\mathbb{R}\)（赋予通常拓扑）中，考虑集合：

$$ A = (0,1) $$

该集合包含所有满足 \( 0 < x < 1 \) 的实数，但不包含端点 0 与 1。

它的极限点有哪些？

• 区间内部的每个点都是极限点。 因为无论取多小的邻域，总能找到不同于该点的 \( A \) 中元素。
• 点 0 是极限点。 任意邻域 \( (0,0+\epsilon) \) 都与 \( A \) 相交。
• 点 1 同样是极限点。 任意邻域 \( (1-\epsilon,1) \) 都包含 \( A \) 中的点。

因此：

$$ A' = [0,1] $$

将集合与其极限点合并：

$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$

闭包比原集合多出了端点 0 和 1。 这说明开区间 \( (0,1) \) 不是闭集。

$$ A \ne \text{Cl}(A) $$

例子：闭区间 \( [0,1] \)

再看集合：

$$ B = [0,1] $$

这是一个闭区间，包含全部满足 \( 0 \le x \le 1 \) 的实数。

• 区间内部的点显然是极限点。
• 端点 0 与 1 也都是极限点。

于是：

$$ B' = [0,1] $$

闭包为：

$$ \text{Cl}(B) = [0,1] $$

闭包与集合完全一致，因此 \( B \) 是闭集。

$$ B = \text{Cl}(B) $$

证明思路

证明 \( \text{Cl}(A) = A \cup A' \) 的关键在于建立两个包含关系。

1. 证明 \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)

闭包按定义包含集合自身，即 \( A \subseteq \text{Cl}(A) \)。

若 \( x \in A' \)，则 \( x \) 的任意邻域都与 \( A \) 相交。 如果 \( x \) 不在闭包中，就能找到一个与 \( A \) 不相交的邻域，这与极限点定义矛盾。

因此 \( A' \subseteq \text{Cl}(A) \)。

2. 证明 \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)

取任意 \( x \in \text{Cl}(A) \)。

若 \( x \in A \)，命题成立。 若 \( x \notin A \)，由于 \( x \) 属于闭包，其任意邻域都与 \( A \) 相交，因此 \( x \) 必为极限点，即 \( x \in A' \)。

3. 结论

既然：

$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$

$$ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$

便得到：

\[ \text{Cl}(A) = A \cup A' \]

证毕。