Характеризующее свойство замкнутых множеств
Множество \( A \) называется замкнутым тогда и только тогда, когда его замыкание в топологическом пространстве совпадает с самим множеством \( A \). Иными словами, множество является замкнутым, если оно не «расширяется» при переходе к замыканию. Формально это записывается так: $$ A = \text{Cl}(A) $$
Практический пример
Рассмотрим вещественную прямую \( \mathbb{R} \) со стандартной топологией и множество \( A = [0, 1] \).
По определению, множество считается замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Для отрезка \( A = [0, 1] \) предельными являются все точки между \( 0 \) и \( 1 \), включая сами концы отрезка.
Отрезок \( [0, 1] \) уже содержит все эти точки, поэтому он является замкнутым множеством.
Проверим это с помощью замыкания.
В стандартной топологии замыкание множества \( A \) совпадает с ним самим: \( \text{Cl}(A) = [0, 1] \). Это происходит потому, что у отрезка нет предельных точек вне его границ.
$$ A = \text{Cl}(A) $$
Таким образом, пример с отрезком \( [0, 1] \) наглядно показывает, что множество является замкнутым именно потому, что оно совпадает со своим замыканием.
Одновременно этот пример иллюстрирует общее утверждение: множество \( A \) замкнуто тогда и только тогда, когда выполняется равенство \( A = \text{Cl}(A) \).
Доказательство
Для начала напомним основные определения.
- Замыкание множества: замыканием множества \( A \), обозначаемым \( \text{Cl}(A) \), называется множество, состоящее из всех точек \( A \) и всех его предельных точек. Формально: \[ \text{Cl}(A) = A \cup \{x \in X \mid \text{ каждая окрестность точки } x \text{ содержит хотя бы одну точку из } A \} \]
- Замкнутое множество: множество \( A \) называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Теперь докажем эквивалентность в обоих направлениях.
1] Если \( A \) замкнуто, то \( A = \text{Cl}(A) \)
Пусть множество \( A \) замкнуто. Это означает, что каждая его предельная точка принадлежит самому множеству.
Следовательно, у \( A \) нет предельных точек, лежащих вне этого множества.
Поскольку замыкание \( \text{Cl}(A) \) получается добавлением к \( A \) всех его предельных точек, в данном случае добавлять нечего. Поэтому
$$ \text{Cl}(A) = A \cup \{ \text{предельные точки } A \} = A $$
Отсюда сразу следует равенство \( A = \text{Cl}(A) \).
2] Если \( A = \text{Cl}(A) \), то \( A \) замкнуто
Пусть теперь выполняется равенство \( A = \text{Cl}(A) \). Это означает, что все предельные точки множества \( A \) уже содержатся в самом множестве.
Следовательно, по определению, множество \( A \) является замкнутым.
