Sifat Komplemen antara Interior dan Penutupan Suatu Himpunan
Dalam topologi, terdapat hubungan penting antara interior dan penutupan suatu himpunan. Hubungan ini menyatakan bahwa interior dari komplemen sebuah himpunan \( A \) selalu sama dengan komplemen dari penutupan \( A \). $$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Contoh Praktis
Untuk melihat bagaimana konsep ini bekerja, bayangkan ruang topologi yang sangat akrab yaitu garis bilangan real \(\mathbb{R}\) dengan topologi standar. Dalam setting ini, himpunan terbuka adalah interval terbuka.
Ambil himpunan \( A = [0, 1] \). Ini adalah interval tertutup yang mencakup titik ujungnya.
$$ A = [0, 1] $$
Komplemen dari \( A \) dalam \(\mathbb{R}\) adalah dua interval tak berhingga:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Keduanya sudah berbentuk himpunan terbuka. Karena itu, interior dari komplemen \( A \) adalah persis himpunan tersebut:
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Penutupan \( A \), yang meliputi semua titik limitnya, tetap sama karena \( A \) memang sudah tertutup:
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
Maka komplemen penutupannya adalah:
$$ \mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Hasilnya identik, sehingga contoh sederhana ini langsung memperlihatkan kebenaran prinsip komplementer interior dan penutupan. Hubungan tersebut bukan sekadar rumus, tetapi sifat struktural ruang topologi yang berlaku sangat umum.
Demonstrasi
Untuk membuktikan sifat ini dalam bentuk umum, misalkan \( A \) adalah himpunan apa pun dalam ruang topologi \( X \).
Kita ingin menunjukkan bahwa:
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Pembuktian menggunakan definisi dasar interior dan penutupan, dua konsep fundamental dalam topologi.
- Interior \( \text{Int}(B) \): himpunan semua titik yang memiliki lingkungan sepenuhnya berada di dalam \( B \).
- Penutupan \( \text{Cl}(A) \): himpunan \( A \) beserta seluruh titik limitnya, yaitu titik yang tidak dapat “dihindari” oleh \( A \).
1] Menunjukkan bahwa \(\text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A)\)
Ambil \( x \in \text{Int}(X - A) \). Artinya ada lingkungan \( U \) dari \( x \) yang seluruhnya berada dalam \( X - A \), sehingga:
$$ U \cap A = \emptyset $$
Jika \( x \) adalah titik limit \( A \), maka setiap lingkungan \( x \) harus berpotongan dengan \( A \). Ini bertentangan dengan kondisi di atas. Karena itu, \( x \) tidak mungkin berada dalam \(\text{Cl}(A)\). Maka:
$$ x \in X - \text{Cl}(A) $$
2] Menunjukkan bahwa \(X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A)\)
Ambil \( x \in X - \text{Cl}(A) \). Karena \( x \) bukan titik limit dari \( A \), pasti ada lingkungan \( U \) dari \( x \) yang tidak berpotongan dengan \( A \):
$$ U \cap A = \emptyset $$
Lingkungan ini sepenuhnya berada dalam \( X - A \), yang berarti \( x \) adalah titik interior dari komplemen tersebut.
3] Kesimpulan
Dua inklusi yang telah ditunjukkan memberi kita persamaan lengkap:
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Pembuktian ini memperkuat pemahaman bahwa interior dan penutupan tidak berdiri sendiri, melainkan saling terkait melalui operasi komplemen. Relasi ini menjadi salah satu identitas dasar yang sering digunakan dalam analisis topologi dan menjadi fondasi banyak argumen yang lebih maju.
