Sifat Monotonisitas Penutupan Himpunan
Sifat monotonisitas penutupan himpunan menyatakan bahwa jika \( A \) dan \( B \) adalah dua himpunan sembarang (tidak harus merupakan himpunan tertutup) dan \( A \) merupakan subhimpunan dari \( B \), maka penutupan dari \( A \) juga merupakan subhimpunan dari penutupan \( B \): \[ A \subseteq B \implies \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Sifat ini merupakan konsep dasar dalam topologi dan sering muncul dalam berbagai pembahasan tentang struktur himpunan. Intinya sederhana, tetapi sangat penting karena menunjukkan bagaimana operasi penutupan berinteraksi dengan relasi inklusi.
Secara intuitif, jika sebuah himpunan berada di dalam himpunan lain yang lebih besar, maka setelah keduanya dikenai operasi penutupan, hasil penutupan himpunan yang lebih kecil tetap tidak akan keluar dari penutupan himpunan yang lebih besar.
Contoh Konkret
Untuk memperjelas ide ini, mari kita lihat contoh pada ruang topologi yang paling dikenal, yaitu garis bilangan real \(\mathbb{R}\) dengan topologi standar.
Dalam topologi pada bilangan real, himpunan terbuka didefinisikan sebagai interval terbuka.
Pertimbangkan dua himpunan berikut di \(\mathbb{R}\):
\[ A = (0, 1) \]
\[ B = [0, 2] \]
Jelas bahwa setiap elemen dari \( A \) juga terdapat di dalam \( B \). Oleh karena itu, berlaku relasi inklusi:
\[ A \subseteq B \]
Penutupan Himpunan \(A\)
Himpunan \( A \) adalah interval terbuka \( (0, 1) \).
Penutupan dari \( A \) diperoleh dengan menambahkan semua titik limitnya ke dalam himpunan tersebut.
Titik-titik limit dari \( A \) adalah \( 0 \) dan \( 1 \), karena setiap lingkungan dari kedua titik ini selalu mengandung titik-titik dari \( A \).
Dengan demikian, penutupan dari \( A \) adalah:
\[ \text{Cl}(A) = [0, 1] \]
Penutupan Himpunan \(B\)
Himpunan \( B \) adalah interval tertutup \([0, 2]\).
Karena \( B \) sudah merupakan himpunan tertutup dan telah memuat semua titik limitnya, operasi penutupan tidak menambahkan elemen baru.
\[ \text{Cl}(B) = [0, 2] \]
Kesimpulan
Sifat Monotonisitas Penutupan Himpunan
Dari hasil di atas diperoleh bahwa \( \text{Cl}(A) = [0, 1] \) dan \( \text{Cl}(B) = [0, 2] \).
Karena interval \([0, 1]\) merupakan subhimpunan dari interval \([0, 2]\), maka secara langsung berlaku:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Contoh ini menunjukkan dengan jelas bahwa operasi penutupan mempertahankan relasi inklusi antarhimpunan.
Inilah inti dari sifat monotonisitas penutupan himpunan.
Pembuktian
Misalkan \( A \) dan \( B \) adalah dua himpunan dengan hubungan:
\[ A \subseteq B \]
Tujuan kita adalah membuktikan bahwa \( \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \).
Berdasarkan definisi subhimpunan, setiap titik yang merupakan elemen dari \( A \) juga merupakan elemen dari \( B \).
Sebuah titik \( x \) termasuk dalam \( \text{Cl}(A) \) jika dan hanya jika setiap lingkungan dari \( x \) mengandung paling sedikit satu titik dari \( A \), dengan catatan bahwa titik tersebut berbeda dari \( x \) sendiri apabila \( x \in A \).
Karena \( A \subseteq B \), setiap lingkungan dari \( x \) yang mengandung titik dari \( A \) juga pasti mengandung titik dari \( B \).
Di sisi lain, penutupan suatu himpunan \( X \) dapat didefinisikan sebagai irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat \( X \).
Setiap himpunan tertutup yang memuat \( B \) juga memuat \( A \), sebagai konsekuensi langsung dari relasi inklusi \( A \subseteq B \).
Akibatnya, irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat \( B \) juga mencakup seluruh titik limit dari \( A \).
Dengan demikian, setiap titik yang termasuk dalam \( \text{Cl}(A) \) juga termasuk dalam \( \text{Cl}(B) \).
Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Sifat ini merupakan konsekuensi langsung dari definisi penutupan dan relasi inklusi antara himpunan \( A \) dan \( B \), serta menjadi salah satu sifat penting dalam kajian topologi.
Dan seterusnya.
