Sifat Inklusi Penutupan pada Himpunan Tertutup

Jika $ C $ adalah himpunan tertutup dalam suatu ruang topologi $ X $ dan $ A $ merupakan himpunan bagian dari $ C $, maka penutupan dari $ A $, yang dinotasikan dengan $ \operatorname{Cl}(A) $, juga merupakan himpunan bagian dari $ C $. $$ A \subseteq C \ , \ C \text{ tertutup } \implies \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Sifat ini mengikuti langsung dari definisi penutupan. Penutupan dari $ A $ adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat $ A $. Karena $ C $ sudah tertutup dan sudah mengandung $ A $, maka tidak mungkin penutupan $ A $ berada di luar $ C $.

Dengan kata lain, penutupan tidak pernah “keluar” dari himpunan tertutup yang sudah memuatnya.

Contoh Konkret
Bukti

Contoh Konkret

Pertimbangkan ruang topologi $ X = \mathbb{R} $, yaitu himpunan bilangan real dengan topologi standar.

Dalam topologi standar, himpunan terbuka dinyatakan sebagai interval terbuka.

Ambil himpunan $ C = [0, 2] $, yang merupakan himpunan tertutup di $ \mathbb{R} $.

$$ C = [0,2] $$

Selanjutnya, pilih himpunan terbuka $ A = (0, 1) $, yang jelas merupakan himpunan bagian dari $ C $.

$$ A = (0,1) $$

Sekarang kita tentukan penutupan dari himpunan $ A $.

Penutupan $ A $, yaitu $ \operatorname{Cl}(A) $, adalah himpunan tertutup terkecil di $ \mathbb{R} $ yang memuat semua titik $ A $.

Dalam hal ini, penutupan dari interval terbuka $ (0, 1) $ adalah $ [0, 1] $. Himpunan ini mencakup semua titik di $ (0, 1) $ beserta titik-titik akumulasinya, yaitu 0 dan 1.

$$ \operatorname{Cl}(A) = [0,1] $$

Karena $ A \subseteq C $,

$$ A = (0, 1) \subseteq C = [0, 2] $$

maka, berdasarkan sifat inklusi penutupan, harus berlaku bahwa

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Memang, $ \operatorname{Cl}(A) = [0, 1] $, dan dengan segera dapat dilihat bahwa $ [0, 1] \subseteq [0, 2] $.

$$ \operatorname{Cl}(A) = [0,1] \subseteq [0,2] = C $$

Hasil ini menunjukkan bahwa meskipun $ A $ adalah himpunan terbuka, penutupannya tetap berada sepenuhnya di dalam himpunan tertutup $ C $.

Contoh ini menegaskan bahwa jika $ A $ merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan tertutup $ C $ dalam ruang topologi $ X $, maka penutupan dari $ A $ selalu terkandung di dalam $ C $.

Bukti

Karena $ C $ adalah himpunan tertutup di $ X $, maka komplemennya, yaitu $ X \setminus C $, merupakan himpunan terbuka di $ X $.

Dari asumsi awal diketahui bahwa $ A \subseteq C $.

Penutupan dari $ A $, yang dinotasikan dengan $ \operatorname{Cl}(A) $, didefinisikan sebagai himpunan tertutup terkecil di $ X $ yang memuat $ A $.

Secara ekuivalen, $ \operatorname{Cl}(A) $ dapat dipandang sebagai irisan dari semua himpunan tertutup di $ X $ yang memuat $ A $.

Karena $ C $ adalah salah satu himpunan tertutup yang memuat $ A $, maka $ C $ termasuk dalam keluarga himpunan-himpunan tersebut.

Akibatnya, irisan dari seluruh himpunan tertutup yang memuat $ A $, yaitu $ \operatorname{Cl}(A) $, tidak mungkin melampaui $ C $.

Dengan demikian diperoleh

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Intinya, jika sebuah himpunan tertutup sudah memuat $ A $, maka penutupan dari $ A $, sebagai himpunan tertutup terkecil yang memuatnya, pasti tetap berada di dalam himpunan tersebut.

Dan seterusnya.