Inklusi Himpunan Terbuka dalam Interior Suatu Himpunan

Jika $ U $ adalah himpunan terbuka dalam suatu ruang topologi $ X $ dan memenuhi $ U \subseteq A $, maka $ U $ selalu merupakan subhimpunan dari interior himpunan $ A $. $$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

Interior suatu himpunan $ A $, yang dilambangkan dengan $ \text{Int}(A) $, adalah himpunan terbuka terbesar yang sepenuhnya berada di dalam $ A $. Dengan kata lain, interior memuat semua titik di $ A $ yang masih memiliki lingkungan terbuka yang tidak keluar dari $ A $.

Akibatnya, setiap himpunan terbuka $ U $ yang sudah berada di dalam $ A $ secara otomatis menjadi bagian dari interior $ \text{Int}(A) $.

Secara formal, interior didefinisikan sebagai:

$$ \text{Int}(A) = \bigcup \{ O \subseteq A \mid O \text{ adalah himpunan terbuka di } X \} $$

Karena $ U $ merupakan himpunan terbuka dan memenuhi $ U \subseteq A $, maka $ U $ termasuk salah satu himpunan dalam gabungan tersebut.

Contoh
Bukti

Contoh

Sebagai ilustrasi konkret, tinjau dua himpunan $ U $ dan $ A $ pada ruang topologi $ \mathbb{R} $ dengan topologi standar. Pada topologi ini, himpunan terbuka berupa interval terbuka beserta gabungan sebarang dari interval-interval tersebut.

$$ U = (1, 2) $$

$$ A = [0, 3] $$

Himpunan $ U = (1, 2) $ merupakan himpunan terbuka di $ \mathbb{R} $ karena berbentuk interval terbuka.

Selain itu, jelas bahwa $ U \subseteq A $, sebab setiap bilangan real antara 1 dan 2 juga berada dalam interval $ [0, 3] $. Dengan demikian, syarat $ U \subseteq A $ terpenuhi.

Interior dari himpunan $ A = [0, 3] $, yang ditulis sebagai $ \text{Int}(A) $, adalah interval terbuka $ (0, 3) $. Interval ini merupakan himpunan terbuka terbesar yang masih sepenuhnya berada di dalam $ [0, 3] $.

$$ \text{Int}(A) = (0, 3) $$

Karena $ U = (1, 2) $ berada di dalam $ (0, 3) $, maka dapat langsung dilihat bahwa $ U \subseteq \text{Int}(A) $.

$$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

Contoh ini memperjelas bahwa setiap himpunan terbuka $ U $ di $ \mathbb{R} $ yang merupakan subhimpunan dari $ A $ pasti juga merupakan subhimpunan dari interior $ A $.

Bukti

Misalkan $ X $ adalah suatu ruang topologi, $ U $ adalah himpunan terbuka di $ X $, dan $ A \subseteq X $ sehingga $ U \subseteq A $.

Dari asumsi tersebut diperoleh:

$ U $ adalah himpunan terbuka di $ X $.
$ U \subseteq A $.

Menurut definisi, interior $ \text{Int}(A) $ adalah himpunan terbuka terbesar yang terkandung di dalam $ A $, atau setara dengan gabungan semua himpunan terbuka yang merupakan subhimpunan dari $ A $.

Karena $ U $ adalah himpunan terbuka dan memenuhi $ U \subseteq A $, maka $ U $ termasuk dalam keluarga himpunan terbuka yang membentuk $ \text{Int}(A) $.

Oleh sebab itu, secara langsung diperoleh bahwa $ U \subseteq \text{Int}(A) $.

Dengan demikian, terbukti bahwa jika $ U $ adalah himpunan terbuka di $ X $ dan $ U \subseteq A $, maka selalu berlaku $ U \subseteq \text{Int}(A) $.