Karakterisasi Himpunan Terbuka melalui Interior
Dalam topologi, suatu himpunan \( A \) di dalam ruang topologi \( X \) disebut terbuka jika dan hanya jika himpunan tersebut sama dengan interiornya. $$ A = \text{Int}(A) $$
Pernyataan ini memberikan cara yang sangat praktis untuk mengenali himpunan terbuka. Intinya sederhana. Sebuah himpunan bersifat terbuka apabila setiap titik di dalamnya memiliki lingkungan terbuka yang sepenuhnya berada di dalam himpunan tersebut.
Dengan kata lain, tidak ada titik di dalam \( A \) yang “menyentuh batas”. Semua titik bersifat interior, sehingga \( A \) tidak lebih besar dan tidak lebih kecil daripada interiornya sendiri.
Interior suatu himpunan Int(A) adalah himpunan terbuka terbesar yang terkandung di dalam \( A \), yang diperoleh sebagai gabungan dari semua himpunan terbuka yang merupakan subhimpunan dari \( A \).
Contoh Praktis
Agar konsep ini lebih jelas, kita tinjau ruang topologi \( \mathbb{R} \) dengan topologi standar. Dalam ruang ini, semua interval terbuka merupakan himpunan terbuka.
Kita akan memeriksa beberapa contoh dengan menggunakan kriteria \( A = \text{Int}(A) \).
Contoh 1
Pertimbangkan interval terbuka berikut.
$$ A = (0, 1) $$
Interior dari \( A \) adalah interval itu sendiri.
$$ \text{Int}(A) = (0,1) $$
Karena \( A \) bertepatan dengan interiornya, maka \( A \) adalah himpunan terbuka.
Contoh 2
Sekarang pertimbangkan interval tertutup berikut.
$$ B = [0, 1] $$
Interior dari \( B \) adalah interval yang sama tanpa titik-titik ujungnya.
$$ \text{Int}(B) = (0,1) $$
Dalam hal ini, \( B \neq \text{Int}(B) \). Oleh karena itu, \( B \) bukan himpunan terbuka.
Catatan: Contoh-contoh ini menunjukkan bahwa konsep interior memberikan kriteria yang jelas dan mudah digunakan untuk menentukan apakah suatu himpunan terbuka atau tidak.
Bukti
Selanjutnya, kita buktikan secara formal bahwa suatu himpunan \( A \) bersifat terbuka jika dan hanya jika \( A = \text{Int}(A) \).
Bukti dibagi menjadi dua arah implikasi.
1] Jika \( A \) terbuka, maka \( \text{Int}(A) = A \)
Misalkan \( A \) adalah himpunan terbuka.
Menurut definisi, \(\text{Int}(A)\) terdiri dari semua titik di dalam \( A \) yang memiliki lingkungan terbuka yang sepenuhnya terkandung di dalam \( A \).
Karena \( A \) terbuka, setiap titik \( x \in A \) memiliki lingkungan terbuka \( U \) dengan \( U \subseteq A \).
Akibatnya, setiap titik di dalam \( A \) juga merupakan titik interior.
$$ A \subseteq \text{Int}(A) $$
Sebaliknya, secara definisi interior tidak pernah melampaui himpunan asalnya.
$$ \text{Int}(A) \subseteq A $$
Dari kedua inklusi ini diperoleh kesamaan.
$$ A = \text{Int}(A) $$
2] Jika \( A = \text{Int}(A) \), maka \( A \) terbuka
Sekarang andaikan \( A = \text{Int}(A) \).
Ambil sembarang titik \( x \in A \).
Karena \( x \) merupakan titik interior, maka berdasarkan definisi terdapat lingkungan terbuka \( U \) sedemikian sehingga
$$ U \subseteq \text{Int}(A) = A $$
Ini berlaku untuk setiap titik di dalam \( A \), sehingga setiap titik memiliki lingkungan terbuka yang terkandung di dalam \( A \).
Dengan demikian, \( A \) adalah himpunan terbuka.
3] Kesimpulan
Kita telah membuktikan bahwa suatu himpunan \( A \) dalam ruang topologi \( X \) bersifat terbuka jika dan hanya jika himpunan tersebut bertepatan dengan interiornya.
$$ A = \text{Int}(A) $$
Karakterisasi ini sangat berguna karena menghubungkan definisi abstrak keterbukaan dengan konstruksi konkret melalui interior.
