Penutupan Komplemen dan Komplemen dari Interior Suatu Himpunan
Dalam teori topologi, penutupan dari komplemen suatu himpunan A selalu sama dengan komplemen dari interior himpunan tersebut. Hubungan ini dinyatakan sebagai berikut: $$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Sifat ini memperlihatkan adanya keterkaitan yang simetris antara konsep penutupan dan interior, dua gagasan dasar yang sering muncul dalam kajian topologi himpunan.
Contoh yang Mudah Dipahami
Perhatikan ruang topologi \( X = \mathbb{R} \) dengan topologi standar. Dalam topologi ini, himpunan terbuka adalah interval terbuka dan semua gabungannya.
Misalkan kita memilih sebuah himpunan \( A \subseteq \mathbb{R} \) berupa interval tertutup, yaitu \( A = [1, 2] \).
Untuk memahami relasi di atas secara konkret, kita akan menghitung dua objek berikut secara terpisah: penutupan dari komplemen A dan komplemen dari interior A.
1] Penutupan dari Komplemen A
Komplemen dari A di dalam \( \mathbb{R} \) ditulis sebagai X - A, sehingga diperoleh:
$$ X - A = \mathbb{R} - [1, 2] = (-\infty, 1) \cup (2, \infty) $$
Himpunan ini merupakan gabungan dari dua interval terbuka. Untuk menentukan penutupannya, kita perlu menambahkan semua titik limit atau titik akumulasi.
Pada contoh ini, titik 1 dan 2 merupakan titik limit. Setiap lingkungan di sekitar 1 selalu memuat titik dari interval \( (-\infty, 1) \), dan setiap lingkungan di sekitar 2 selalu memuat titik dari interval \( (2, \infty) \).
Akibatnya, penutupan dari komplemen A adalah:
$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
2] Komplemen dari Interior A
Interior dari himpunan A = [1, 2] adalah interval terbuka yang seluruhnya berada di dalam A, yaitu:
$$ \text{Int}(A) = (1, 2) $$
Komplemen dari interior A kemudian diberikan oleh:
$$ X - \text{Int}(A) = \mathbb{R} - (1, 2) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
3] Kesimpulan
Dari kedua perhitungan di atas, terlihat bahwa:
$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
$$ X - \text{Int}(A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
Keduanya menghasilkan himpunan yang sama. Dengan demikian, pada contoh ini terbukti bahwa \(\text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A)\).
Bukti Umum
Misalkan \( A \subseteq X \) adalah sebuah himpunan dalam ruang topologi X.
Penutupan dari komplemen A, yaitu \( \text{Cl}(X - A) \), terdiri atas semua titik di luar A beserta seluruh titik limitnya.
Sementara itu, komplemen dari interior A, yaitu \( X - \text{Int}(A) \), memuat semua titik di X yang bukan merupakan titik interior dari A.
Untuk menunjukkan bahwa kedua himpunan tersebut sama, kita periksa dua inklusi berikut.
- \( \text{Cl}(X - A) \subseteq X - \text{Int}(A) \)
Jika suatu titik x berada dalam penutupan X-A, maka setiap lingkungan dari x mengandung setidaknya satu titik yang tidak termasuk A. Hal ini berarti x tidak mungkin merupakan titik interior dari A. Dengan kata lain, x berada di dalam X-Int(A). - \( X - \text{Int}(A) \subseteq \text{Cl}(X - A) \)
Jika suatu titik x tidak termasuk interior A, maka setiap lingkungan dari x pasti memuat titik yang berada di luar A. Oleh karena itu, x termasuk dalam penutupan dari X-A.
Karena kedua inklusi tersebut terpenuhi, dapat disimpulkan bahwa:
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Hasil ini menegaskan adanya dualitas yang elegan antara konsep penutupan dan interior dalam topologi, khususnya ketika dikaitkan dengan operasi komplemen himpunan.
Dan seterusnya.
