Пересечение границы множества с самим множеством в топологии

Пересечение границы \( \partial A \) множества с самим множеством \( A \) пусто тогда и только тогда, когда множество открыто: $$ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ открыто} $$

Это свойство удобно понимать интуитивно. Открытое множество не содержит своих «крайних» точек. Все его точки находятся строго внутри, поэтому граница и само множество не пересекаются.

И наоборот, если хотя бы одна точка множества лежит на границе, то множество уже не является открытым.

Пример

Рассмотрим открытый интервал \((0, 1)\) на числовой прямой \(\mathbb{R}\) со стандартной топологией.

$$ A = (0, 1) $$

Это классический пример открытого множества.

Найдём его границу. По определению:

$$ \partial A = \mathrm{Cl}(A) \cap \mathrm{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) $$

Замыкание множества \( A \) равно отрезку:

$$ \mathrm{Cl}(A) = [0, 1] $$

Замыкание дополнения:

$$ \mathrm{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Следовательно:

$$ \partial A = [0, 1] \cap \bigl((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\bigr) = \{0, 1\} $$

Теперь пересечём границу с самим множеством:

$$ \partial A \cap A = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$

Точки 0 и 1 не входят в интервал, поэтому пересечение пусто. Это подтверждает, что \( A \) действительно открыто.

Пример 2

Рассмотрим замкнутый отрезок:

$$ B = [0, 1] $$

Множество \( B \) уже не открыто.

Его граница вычисляется аналогично:

$$ \partial B = \mathrm{Cl}(B) \cap \mathrm{Cl}(\mathbb{R} \setminus B) $$

Поскольку \( B \) замкнуто, его замыкание совпадает с ним самим:

$$ \mathrm{Cl}(B) = [0, 1] $$

А замыкание дополнения остаётся тем же:

$$ \mathrm{Cl}(\mathbb{R} \setminus B) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Отсюда:

$$ \partial B = \{0, 1\} $$

Теперь:

$$ \partial B \cap B = \{0, 1\} \cap [0, 1] = \{0, 1\} $$

Граничные точки входят в множество. Пересечение не пусто, и это сразу показывает, что \( B \) не является открытым.

Почему это верно

Идея доказательства проста.

Если пересечение пусто, то множество открыто.

Это означает, что ни одна точка множества не лежит на границе. Следовательно, каждая точка находится внутри множества и имеет окрестность, полностью содержащуюся в нём. По определению это и есть открытое множество.

Если множество открыто, то пересечение пусто.

Если множество открыто, каждая его точка внутренняя. Значит, вокруг неё можно взять окрестность, не выходящую за пределы множества. Такая точка не может быть граничной. Следовательно, граница не пересекается с множеством.

Итог

Открытость множества можно распознать по простому признаку: у него нет общих точек с собственной границей.

Формально это записывается так:

$$ \partial A \cap A = \emptyset $$