Граница множества

Точка $ x $ называется граничной точкой множества $ A $, если любая окрестность точки $ x $ пересекает как множество $ A $, так и его дополнение $ X - A $.

Проще говоря, если нельзя найти окрестность точки $ x $, которая полностью лежит внутри $ A $ или полностью вне $ A $, то точка $ x $ находится на границе множества $ A $.

Пример
Доказательство

Пример

Рассмотрим простой пример, который наглядно показывает смысл этого определения.

Пусть задано множество $ A = (0,1) $ на числовой прямой $ \mathbb{R} $.

В этом случае точки 0 и 1 являются граничными точками множества $ A $. Любая окрестность точки 0 или 1 всегда содержит точки как из интервала $ (0,1) $, так и вне него.

Точка 1
Рассмотрим окрестность $ (1-\epsilon, 1+\epsilon) $, где ε очень мало. Эта окрестность содержит часть $ (1-\epsilon,1) $, принадлежащую интервалу $ (0,1) $, и часть $ (1,1+\epsilon) $, лежащую вне него. Следовательно, точка 1 является граничной точкой множества $ A $.
Точка 0
Аналогично, любая окрестность $ (0-\epsilon, 0+\epsilon) $ содержит часть $ (0,0+\epsilon) $, принадлежащую интервалу $ (0,1) $, и часть $ (0-\epsilon,0) $, лежащую вне него. Поэтому точка 0 также является граничной точкой множества $ A $.
Точка внутри интервала (0,1)
Если точка $ x $ принадлежит интервалу $ (0,1) $, можно выбрать достаточно малую окрестность $ (x-\epsilon, x+\epsilon) $, которая целиком содержится в $ A $. Такая окрестность не пересекает $ X-A $. Следовательно, внутренние точки интервала $ (0,1) $ не являются граничными.
Точка вне интервала (0,1)
Если точка лежит вне интервала $ (0,1) $ и не равна 0 или 1, можно выбрать окрестность $ (x-\epsilon, x+\epsilon) $, которая полностью лежит вне множества $ A $. Поэтому такие точки также не являются граничными точками множества $ A $.

Таким образом, граница множества $ A $ состоит из точек 0 и 1.

$$ \partial A = \{0,1 \} $$

Итак, точка принадлежит границе множества, если любая её окрестность содержит точки как из самого множества, так и из его дополнения.

Доказательство

Покажем, что приведённое условие действительно характеризует граничные точки множества.

1] Точка $ x $ является граничной точкой множества $ A $

Пусть $ x \in \partial A $.

$$ x \in \partial A $$

По определению границы это означает, что

$$ x \in \text{Cl}(A) \quad \text{и} \quad x \notin \text{Int}(A) $$

Из условия $ x \in \text{Cl}(A) $ следует, что любая окрестность точки $ x $ пересекает множество $ A $.

Кроме того, из условия $ x \notin \text{Int}(A) $ следует, что ни одна окрестность точки $ x $ не содержится полностью в $ A $. Значит, каждая такая окрестность обязательно пересекает $ X-A $.

Следовательно, любая окрестность точки $ x $ пересекает и $ A $, и $ X-A $.

2] Любая окрестность точки $ x $ пересекает и $ A $, и $ X-A $

Теперь предположим, что каждая окрестность точки $ x $ содержит точки из $ A $ и точки из $ X-A $.

Тогда точка принадлежит замыканию обоих множеств:

$$ x \in \text{Cl}(A) \quad \text{и} \quad x \in \text{Cl}(X-A) $$

Поскольку

$$ \text{Cl}(X-A) = X - \text{Int}(A) $$

получаем, что $ x \notin \text{Int}(A) $.

Следовательно, выполняется

$$ x \in \text{Cl}(A) \quad \text{и} \quad x \notin \text{Int}(A) $$

Отсюда

$$ x \in \text{Cl}(A) - \text{Int}(A) = \partial A $$

Таким образом, точка $ x $ является граничной точкой множества $ A $.