Граница множества A содержится в A тогда и только тогда, когда A замкнуто

Граница множества \( A \), обозначаемая \( \partial A \), содержится в \( A \) тогда и только тогда, когда множество \( A \) является замкнутым. \[ \partial A \subseteq A \Leftrightarrow A \text{ замкнуто} \]

Наглядный пример

Пример 1

Рассмотрим множество \( A \), которое представляет собой замкнутый круг радиуса 1 с центром в начале координат евклидова пространства \(\mathbb{R}^2\).

$$ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1 \} $$

Границей этого множества является окружность радиуса 1:

$$ \partial A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 \} $$

Поскольку множество \( A \) является замкнутым кругом, оно содержит все точки своей границы. Поэтому выполняется включение:

$$ \partial A \subseteq A $$

Отсюда следует, что множество \( A \) замкнуто.

Пример 2

Теперь рассмотрим множество \( B \), которое представляет собой открытый круг радиуса 1 с центром в начале координат:

$$ B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1 \} $$

Граница множества \( B \) совпадает с той же окружностью радиуса 1:

$$ \partial B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 \} $$

Однако в данном случае точки окружности не принадлежат множеству \( B \), поскольку круг определён как открытый. Следовательно:

$$ \partial B \nsubseteq B $$

Это означает, что множество \( B \) не является замкнутым.

Эти примеры показывают важное различие. Замкнутое множество содержит свою границу, тогда как открытое множество её не содержит.

Доказательство

Разобьём доказательство на две части.

1] Если граница A содержится в A, то A замкнуто

Предположим, что \( \partial A \subseteq A \), то есть граница множества \( A \) содержится в \( A \).

Нужно доказать, что множество \( A \) является замкнутым.

По определению граница множества задаётся равенством

\( \partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c} \)

Здесь \( \overline{A} \) обозначает замыкание множества \( A \), а \( \overline{A^c} \) обозначает замыкание дополнения множества \( A \).

Каждая точка границы является предельной точкой множества \( A \) или его дополнения.

Если выполняется включение \( \partial A \subseteq A \), это означает, что множество \( A \) содержит все свои предельные точки. Следовательно, по определению множество \( A \) является замкнутым.

2] Если A замкнуто, то его граница содержится в A

Предположим теперь, что множество \( A \) замкнуто. Тогда оно совпадает со своим замыканием:

$$ A = \text{Cl}(A) $$

Граница множества определяется как пересечение замыкания множества и замыкания его дополнения:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$

Поскольку \( \text{Cl}(A) = A \), получаем:

$$ \partial A = A \cap \text{Cl}(A^c) $$

Это пересечение состоит из точек, которые принадлежат множеству \( A \) и одновременно являются предельными точками его дополнения. Именно такие точки образуют границу множества.

Следовательно, каждая точка границы принадлежит \( A \), то есть

$$ \partial A \subseteq A $$

3] Заключение

Таким образом, мы доказали, что граница множества содержится в самом множестве тогда и только тогда, когда это множество является замкнутым.

И так далее.