Topolojik Uzaylarda Çarpım Topolojisi

İki topolojik uzay $X$ ve $Y$ verildiğinde, $X \times Y$ üzerinde tanımlanan çarpım topolojisi, $B$ ile gösterilen bir taban tarafından üretilen topolojidir. Bu taban, $U \times V$ biçimindeki tüm Kartezyen çarpımlardan oluşur; burada $U$, $X$ içinde açık bir küme, $V$ ise $Y$ içinde açık bir kümedir.

Başka bir ifadeyle, $X \times Y$ üzerinde bir topoloji oluşturmak için başlangıç noktası olarak $U \times V$ biçimindeki kümeleri alırız. Burada $U$, $X$ uzayında açık bir küme, $V$ ise $Y$ uzayında açık bir kümedir.

Bu kümelerin tamamı $B$ ile gösterilir ve bir topoloji tabanı oluşturur.

Bir topolojinin tabanı, açık kümelerden oluşan bir koleksiyondur. Topolojik uzay $X \times Y$ içindeki her açık küme, bu tabanı oluşturan kümelerin birleşimi şeklinde yazılabilir.

Dolayısıyla çarpım topolojisinin temel özelliği şudur:

Açık kümelerin Kartezyen çarpımı yine açık bir kümedir.

Not: Çarpım topolojisindeki açık kümeler yalnızca $U \times V$ biçimindeki çarpımlarla sınırlı değildir. Bu çarpımların tüm olası birleşimleri de açık küme oluşturur. Bu nedenle $B$ kümesi tek başına tam bir topoloji değildir; yalnızca çarpım topolojisinin bir tabanıdır. Eğer $B$ doğrudan bir topoloji olarak kabul edilseydi, Kartezyen çarpımların birleşimleriyle oluşan tüm açık kümeleri kapsamazdı.

Aynı fikir kapalı kümeler için de geçerlidir.

Kapalı kümelerin Kartezyen çarpımı da kapalı bir küme oluşturur.

Bununla birlikte, çarpım topolojisindeki tüm kapalı kümeler kapalı kümelerin çarpımı biçiminde yazılamaz.

Başka bir deyişle, açık kümelerde olduğu gibi bazı kapalı kümeler de kapalı kümelerin doğrudan Kartezyen çarpımından elde edilmemiş olabilir.

Uygulamalı Bir Örnek
Birden Fazla Topolojik Uzayın Çarpımı
Çarpım Topolojisinin Tabanı
Notlar

Uygulamalı Bir Örnek

Çarpım topolojisinin nasıl çalıştığını görmek için basit bir örnek inceleyelim.

İki topolojik uzayımız olduğunu düşünelim:

$X$, standart topolojiye sahip gerçek doğru $\mathbb{R}$ olsun. Bu durumda açık kümeler $(a,b)$ biçimindeki açık aralıklardır.
$Y$ de aynı standart topolojiye sahip gerçek doğru $\mathbb{R}$ olsun.

Bu iki uzayın çarpımı $X \times Y$, Kartezyen düzlemi oluşturur:

$$ \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 $$

Şimdi $X \times Y$ üzerindeki çarpım topolojisinin tabanını oluşturalım. Bunun için $U$ kümesi $X$ içinde açık ve $V$ kümesi $Y$ içinde açık olacak şekilde tüm $U \times V$ çarpımlarını alırız.

Örneğin

$U = (1,2) \subset X$

Bu, $X$ içinde açık bir aralıktır.

Benzer şekilde

$V = (3,4) \subset Y$

Bu da $Y$ içinde açık bir aralıktır.

Bu durumda

$$ U \times V = (1,2) \times (3,4) $$

kümesi $\mathbb{R}^2$ içinde bir açık küme oluşturur. Geometrik olarak bu küme Kartezyen düzlemde açık bir dikdörtgene karşılık gelir.

kartezyen düzlemde açık dikdörtgen örneği

Şimdi iki taban kümesinin birleşimini inceleyelim.

Önce

$$ U_1 \times V_1 = (1,2) \times (3,4) $$

daha sonra

$$ U_2 \times V_2 = (1.5,2.5) \times (3.5,4.5) $$

kümelerini ele alalım.

Bu iki küme düzlemde iki açık dikdörtgeni temsil eder.

açık kümelerin birleşimine örnek

Bu kümelerin birleşimi tek bir $U \times V$ biçiminde değildir. Buna rağmen taban kümelerinin birleşimi olduğu için yine açık bir küme oluşturur:

$$ (1,2) \times (3,4) \cup (1.5,2.5) \times (3.5,4.5) $$

Bu durum çarpım topolojisinin önemli bir özelliğini gösterir: düzlemdeki her nokta, $U \times V$ biçimindeki taban kümelerinin birleşimi ile kapsanabilir.

Örneğin $(1.8,3.8)$ noktasını ele alalım.

Bu nokta

$$ (1,2) \times (3,4) $$

kümesinin içindedir. Dolayısıyla taban kümelerinin birleşimine de aittir.

bir noktanın açık dikdörtgen içinde yer alması

Bu örnek, $B$ tabanının $X \times Y$ üzerinde geçerli bir topoloji oluşturduğunu açıkça gösterir.

Not: Bu topolojiye "çarpım topolojisi" adı verilir. Bu yapı özellikle önemlidir çünkü $X$ ve $Y$ uzaylarının açık yapılarını koruyarak bunları $X \times Y$ çarpımına taşır.

Örnek 2

Şimdi çarpım topolojisini daha somut bir örnek üzerinden inceleyelim.

İki topolojik uzayımız olsun:

$X = \{a, b, c\}$ ve bu küme üzerinde tanımlı topoloji $\{\emptyset, \{a\}, \{b, c\}, X\}$
$Y = \{1, 2\}$ ve bu küme üzerinde tanımlı topoloji $\{\emptyset, \{1\}, Y\}$

$X \times Y$ üzerindeki çarpım topolojisini elde etmek için önce $X$ ve $Y$ uzaylarındaki açık kümelerin tüm Kartezyen çarpımlarını oluştururuz. Daha sonra bu çarpımların tüm olası birleşimlerini dikkate alırız.

$$ B = \{ U \times V \mid U \text{ is open in } X \text{ and } V \text{ is open in } Y \} $$

Önce $X$ uzayındaki açık kümeleri yazalım:

$\emptyset$
$\{a\}$
$\{b, c\}$
$X = \{a, b, c\}$

Şimdi de $Y$ uzayındaki açık kümeleri yazalım:

$\emptyset$
$\{1\}$
$Y = \{1, 2\}$

Bu kümelerin Kartezyen çarpımlarını hesaplayalım:

$\emptyset \times \emptyset = \emptyset$
$\emptyset \times \{1\} = \emptyset$
$\emptyset \times Y = \emptyset$
$\{a\} \times \emptyset = \emptyset$
$\{a\} \times \{1\} = \{(a, 1)\}$
$\{a\} \times Y = \{(a, 1), (a, 2)\}$
$\{b, c\} \times \emptyset = \emptyset$
$\{b, c\} \times \{1\} = \{(b, 1), (c, 1)\}$
$\{b, c\} \times Y = \{(b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$
$X \times \emptyset = \emptyset$
$X \times \{1\} = \{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$
$X \times Y = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$

Not: Kartezyen çarpım, sıralı ikililerden oluşan bir küme olarak tanımlanır. İlk bileşen birinci kümeden, ikinci bileşen ise ikinci kümeden gelir. Resmi olarak tanım şöyledir: \[ A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \text{ ve } b \in B\} \] Eğer kümelerden biri boş küme ($\emptyset$) ise, bu kümeden alınabilecek hiçbir eleman yoktur. Bu nedenle diğer kümenin elemanlarıyla eşleşebilecek bir eleman da bulunmaz. Sonuç olarak boş kümenin herhangi bir küme ile Kartezyen çarpımı yine boş kümedir. \[ \emptyset \times B = \emptyset \] Örneğin \[ \emptyset \times \{1\} = \emptyset \]

Çarpım topolojisi, bu Kartezyen çarpımların tüm olası birleşimlerinden oluşur. Bu nedenle $X \times Y$ üzerindeki çarpım topolojisi aşağıdaki kümeleri içerir:

$\emptyset$
$\{(a, 1)\}$
$\{(a, 1), (a, 2)\}$
$\{(b, 1), (c, 1)\}$
$\{(b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$
$\{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$
$X \times Y = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$
Bu kümelerin tüm olası birleşimleri
Örneğin $\{(a, 1)\} \cup \{(b, 1), (c, 1)\} = \{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$.

Dolayısıyla $X \times Y$ üzerindeki çarpım topolojisi bu birleşimlerin tümünden oluşur.

Bu örnek önemli bir noktayı açıkça gösterir: çarpım topolojisinde açık kümeler yalnızca $U \times V$ biçimindeki çarpımlar değildir. Bu çarpımların birleşimleri de açık küme olabilir.

Örneğin $\{(a, 1)\} \cup \{(b, 1), (c, 1)\} = \{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$ kümesi çarpım topolojisinde açık bir kümedir. Bu nedenle yalnızca $U \times V$ biçimindeki kümelerin açık olduğunu düşünmek doğru değildir.

$X \times Y$ üzerindeki topolojinin tabanı $B$, yalnızca boş olmayan Kartezyen çarpımlardan oluşur.

$\{(a, 1)\}$
$\{(a, 1), (a, 2)\}$
$\{(b, 1), (c, 1)\}$
$\{(b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$
$\{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$
$X \times Y = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$

Birden Fazla Topolojik Uzayın Çarpımı

Aynı fikir birden fazla topolojik uzayın çarpımı için de geçerlidir.

$n$ adet topolojik uzay $X_1, X_2, \ldots, X_n$ verildiğinde ve her $X_i$ uzayında $U_i$ açık bir küme seçildiğinde, bu açık kümelerin tüm çarpımları $U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n$ kümesi $X_1 \times \cdots \times X_n$ çarpım uzayı üzerinde bir topoloji tabanı oluşturur. $$ B = \{ U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n \mid U_i \text{ is open in } X_i \text{ for each } i \} $$

Çarpım Topolojisinin Tabanı

Genel olarak iki topolojik uzayın açık kümelerinin Kartezyen çarpımları, çarpım topolojisi için doğal bir taban oluşturur.

$$ B = \{ U \times V \mid U \text{ is open in } X \text{ and } V \text{ is open in } Y \} $$

Ancak pratikte bu taban oldukça büyük olabilir. Her iki uzaydaki tüm açık kümeleri kullanmak, çoğu durumda gereğinden fazla sayıda küme üretir.

Bu nedenle çarpım topolojisi için daha küçük ve daha kullanışlı bir taban oluşturmanın daha verimli bir yolu vardır.

$X$ ve $Y$ iki topolojik uzay olsun. $X$ uzayının topolojisi için bir taban $B_X$, $Y$ uzayının topolojisi için ise bir taban $B_Y$ verildiğini varsayalım. Bu durumda $X \times Y$ üzerindeki çarpım topolojisinin bir tabanı, bu tabanların Kartezyen çarpımlarından elde edilir: $$ B = \{ U \times V \mid U \in B_X \text{ and } V \in B_Y \} $$

Bu küme $B$, $X \times Y$ üzerindeki çarpım topolojisinin bir tabanını oluşturur.

Başka bir ifadeyle, $B$ kümesinin elemanları çarpım topolojisinin temel açık kümeleridir. Bu topolojideki her açık küme, bu kümelerin birleşimi olarak yazılabilir.

Not. Aynı fikir herhangi sayıda topolojik uzayın çarpımı için de geçerlidir. $X_1 , X_2 , ... , X_n$ olmak üzere $n$ adet topolojik uzay verildiğinde ve her $X_i$ uzayı için bir taban $B_i$ seçildiğinde, bu tabanların çarpımları $X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$ üzerindeki çarpım topolojisi için bir taban oluşturur. $$ B = \{ B_1 \times \cdots \times B_n \mid B_i \text{ is a basis for } X_i \text{ for } i = 1, \ldots, n \} $$

Örnek

Şimdi basit bir örnek üzerinden bu fikri daha açık biçimde görelim.

Topolojik uzay $ X = \{a, b\} $ olsun ve bu uzayın topolojisi $ \mathcal{T}_X = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} $ olsun. Bu topolojinin minimal tabanı $ B_X = \{\{a\}, \{b\}\} $ kümesidir.
Topolojik uzay $ Y = \{1, 2\} $ olsun ve bu uzayın topolojisi $ \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\} $ olsun. Bu topolojinin minimal tabanı $ B_Y = \{\{1\}, \{2\}\} $ kümesidir.

Çarpım topolojisi için minimal bir taban oluşturmak amacıyla her uzaydaki tüm açık kümeleri kullanmamıza gerek yoktur. Bunun yerine yalnızca taban kümelerinin çarpımlarını almak yeterlidir.

$$ B_X = \{\{a\}, \{b\}\} $$

$$ B_Y = \{\{1\}, \{2\}\} $$

Bu iki tabanın Kartezyen çarpımları şu kümeleri verir:

$$ \{a\} \times \{1\} = \{(a, 1)\} $$

$$ \{a\} \times \{2\} = \{(a, 2)\} $$

$$ \{b\} \times \{1\} = \{(b, 1)\} $$

$$ \{b\} \times \{2\} = \{(b, 2)\} $$

Dolayısıyla $X \times Y$ üzerindeki çarpım topolojisinin minimal tabanı şu kümelerden oluşur:

$$ B_{\text{min}} = \{\{(a, 1)\}, \{(a, 2)\}, \{(b, 1)\}, \{(b, 2)\}\} $$

Bu minimal taban, $X \times Y$ üzerindeki çarpım topolojisini tamamen üretmek için yeterlidir.

Gerçekten de bu topolojideki her açık küme, bu temel kümelerin birleşimi olarak ifade edilebilir.

Başka bir deyişle, yalnızca daha küçük parçalara ayrılamayan temel kümelerin (atomik kümelerin) çarpımlarını kullanarak çok daha küçük bir taban elde ederiz. Buna rağmen bu taban, çarpım topolojisini tamamen tanımlamak için yeterlidir.

İspat

Şimdi $B$ kümesinin gerçekten $X \times Y$ üzerindeki çarpım topolojisinin bir tabanı olduğunu gösterelim.

$$ B = \{U \times V \mid U \in B_X \text{ and } V \in B_Y\} $$

Burada $B_X$, $X$ uzayının topolojisi için bir tabandır ve $B_Y$, $Y$ uzayının topolojisi için bir tabandır.

Çarpım topolojisinde açık kümeler, $U$ kümesi $X$ içinde açık ve $V$ kümesi $Y$ içinde açık olmak üzere $U \times V$ biçimindeki kümelerin birleşimleri olarak tanımlanır.

Dolayısıyla $B$ kümesinin bir taban olduğunu göstermek için, $X \times Y$ içindeki her açık küme $W$'nin $B$ kümesinin elemanlarının birleşimi olarak yazılabildiğini göstermemiz gerekir.

Taban Özelliğinin Doğrulanması

$W$, $X \times Y$ üzerindeki çarpım topolojisinde açık bir küme olsun ve $(x, y)$ noktası $W$ içinde bulunsun.

Çarpım topolojisinin tanımına göre $X$ içinde açık bir $U'$ kümesi ve $Y$ içinde açık bir $V'$ kümesi vardır ve

$$ (x, y) \in U' \times V' \subseteq W $$

$U'$ kümesi $X$ içinde açık olduğundan ve $B_X$ kümesi $X$ topolojisi için bir taban olduğundan, $B_X$ içinde öyle bir $U$ kümesi vardır ki

$$ x \in U \subseteq U' $$

Aynı şekilde $V'$ kümesi $Y$ içinde açık olduğundan ve $B_Y$ kümesi $Y$ topolojisi için bir taban olduğundan, $B_Y$ içinde öyle bir $V$ kümesi vardır ki

$$ y \in V \subseteq V' $$

Dolayısıyla şu sonucu elde ederiz:

$$ (x, y) \in U \times V \subseteq U' \times V' \subseteq W $$

Bu sonuç, $W$ içindeki her noktanın $B$ tabanının bir elemanı olan bir $U \times V$ kümesinin içinde yer aldığını gösterir.

Sonuç

Her açık küme $W$ içindeki her nokta, $W$ içinde yer alan bir $U \times V$ taban kümesinin içinde bulunduğundan, $B$ kümesi çarpım topolojisindeki tüm açık kümeleri üretir.

Dolayısıyla

$$ B = \{U \times V \mid U \in B_X \text{ and } V \in B_Y\} $$

kümesi $X \times Y$ üzerindeki çarpım topolojisinin bir tabanıdır.

Böylece ispat tamamlanmış olur.

Notlar

Çarpım topolojisi ile ilgili bazı önemli sonuçlar:

Çarpım Altuzay Teoremi
Bu teorem şunu ifade eder: Eğer $A$ ve $B$, sırasıyla $X$ ve $Y$ topolojik uzaylarının altuzayları ise, $A \times B$ kümesi $X \times Y$ içinde bir altuzay olarak ele alındığında elde edilen topoloji ile $A$ ve $B$ üzerindeki topolojilerden türetilen çarpım topolojisi aynıdır. $$ \quad \tau_{A \times B}^{\text{sub}} = \tau_A^{\text{sub}} \times \tau_B^{\text{sub}} $$
Çarpım Uzaylarının Topolojik Eşdeğerliği
Üç topolojik uzay $ X $, $ Y $ ve $ Z $ verildiğinde, $ (X \times Y) \times Z $, $ X \times (Y \times Z) $ ve $ X \times Y \times Z $ uzayları topolojik olarak eşdeğerdir. $$ (X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z) \cong X \times Y \times Z $$
Kartezyen Çarpımın İç Kümesi Teoremi
$A$ ve $B$ sırasıyla $X$ ve $Y$ topolojik uzaylarına ait iki küme olsun. Bu durumda $A \times B$ kümesinin içi, $A$ ve $B$ kümelerinin içlerinin çarpımına eşittir. $$ \text{Int}(A \times B) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$

Ve benzeri sonuçlar.